欢迎您,[登录][注册] (您的IP:104.161.35.197)
学科导航 >
个人主页

作者信息

riermanyouxia

资源 文章 汇编
  • ID:3-7368946 2020届高三数学(文)大题精练(11-15)(5份)(Word版含答案解析)

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    • 2020-05-26
    • 下载4次
    • 2583.13KB
  • ID:3-7368934 2020届高三数学(文)大题精练(06-10)(5份)(Word版含答案解析)

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    • 2020-05-26
    • 下载3次
    • 2648.68KB
  • ID:3-7368927 2020届高三数学(文)大题精练(01-05)(5份)(Word版含答案解析)

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    • 2020-05-26
    • 下载5次
    • 3190.34KB
  • ID:3-7347499 2020届高三数学(理)大题精练11-15(5份)(Word版含答案解析)

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    • 2020-05-23
    • 下载5次
    • 2741.33KB
  • ID:3-7342524 2020届高三数学(理)大题精练06-10(5份)(Word版含答案)

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    • 2020-05-22
    • 下载4次
    • 3197.3KB
  • ID:3-7315519 2020届高三数学(理)大题精练(5份)(Word版含答案)

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    2020届高三数学(理)“大题精练”1 17.已知为数列的前n项和,且满足. 求数列的通项; 令,证明:. 18.互联网时代的今天,移动互联快速发展,智能手机技术不断成熟,价格却不断下降,成为了生活中必不可少的工具中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一逐渐地,越来越多的中学生开始在学校里使用手机手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题,同学们为了解手机在中学生中的使用情况,对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4的饼图、注:图中2,单位:小时代表分组为i的情况 求饼图中a的值; 假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组?只需写出结论 从该校随机选取一名同学,能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于小时的概率,若能,请算出这个概率;若不能,请说明理由 19.如图,已知在四棱锥S﹣AFCD中,平面SCD⊥平面AFCD,∠DAF=∠ADC=90°,AD=1,AF=2DC=4,,B,E分别为AF,SA的中点. (1)求证:平面BDE∥平面SCF (2)求二面角A﹣SC﹣B的余弦值 20.过抛物线外一点M作抛物线的两条切线,两切点的连线段称为点M对应的切点弦已知抛物线为,点P,Q在直线l:上,过P,Q两点对应的切点弦分别为AB,CD 当点P在l上移动时,直线AB是否经过某一定点,若有,请求出该定点的坐标;如果没有,请说明理由 当时,点P,Q在什么位置时,取得最小值? 21.已知函数. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明:当﹣1<a<0时,f(x)存在唯一的零点x0,且x0随着a的增大而增大. 22.已知曲线E的参数方程为为参数,以直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求曲线E的直角坐标方程; 设点A是曲线E上任意一点,点A和另外三点构成矩形ABCD,其中AB,AD分别与x轴,y轴平行,点C的坐标为,求矩形ABCD周长的取值范围 23.解不等式; 设a,b,且不全相等,若,证明:. 2020届高三数学(理)“大题精练”4 17.已知函数. (1)若的最小值是2,求a; (2)把函数图像向右平移个单位长度,得到函数图像,若时,求使成立的x的取值集合. 18.已知定义在R上的偶函数和奇函数满足. (1)证明:; (2)当时,不等式恒成立,求实数a的取值范围. 19.已知函数. (1)求的极值; (2)若在内有且仅有一个零点,求在区间上的最大值、最小值. 20.已知数列中,,,且. (1)判断数列足否为等比数列,并说明理由; (2)若,求数列的前n项和. 21.已知钝角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中A为钝角,若,且. (1)求角C; (2)若点D满足,且,求的周长. 22.已知函数 (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 2020届高三数学(理)“大题精练”3(答案解析) 17.在中,内角的对边分别为,已知. 求; 若,且面积,求的值. 18.在中,. (1) 求角的大小; (2)若,垂足为,且,求面积的最小值. 19.在中,内角的对边分别为,,三边成等比数列,且面积为1,在等差数列中,,公差为. (1)求数列的通项公式; (2)数列满足,设为数列的前项和,求的取值范围. 20.某地拟规划种植一批芍药,为了美观,将种植区域(区域Ⅰ)设计成半径为的扇形,中心角.为方便观赏,增加收入,在种植区域外围规划观赏区(区域Ⅱ)和休闲区(区域Ⅲ),并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形,其中点,分别在边和上.已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元. (1)要使观赏区的年收入不低于5万元,求的最大值; (2)试问:当为多少时,年总收入最大? 21.已知函数. (1)当时求函数的最小值; (2)若函数在上恒成立求实数的取值范围. 22.已知函数. (1)若,求函数的极值; (2)当 时,判断函数在区间上零点的个数. 试卷第2页,总3页 2020届高三数学(理)“大题精练”3(答案解析) 17.在中,内角的对边分别为,已知. 求; 若,且面积,求的值. 解:(1)∵, ∴b=2a(cosCcos+sinCsin),可得:b=acosC+asinC, 由正弦定理可得:sinB=sinAcosC+sinAsinC, 可得:sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinAsinC, 可得:cosA=sinA,可得:tanA=, ∵A∈(0,π),∴A= (2)∵,且△ABC面积=bcsinA=2c×c×, ∴解得:c=2,b=4, ∴由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA=48+4-2××2×=28,解得:a=2 18.在中,. (1) 求角的大小; (2)若,垂足为,且,求面积的最小值. 解:(1)由,两边平方, 即,得到,即。 所以 . (2)在直角中, , 在直角中, , 又,所以, 所以 , 由得,,故, 当且仅当时,,从而 . 19.在中,内角的对边分别为,,三边成等比数列,且面积为1,在等差数列中,,公差为. (1)求数列的通项公式; (2)数列满足,设为数列的前项和,求的取值范围. 解:(1)∵,,, ∴,. (2)∵, ∴ ∵是关于n的增函数, ∴. 20.某地拟规划种植一批芍药,为了美观,将种植区域(区域Ⅰ)设计成半径为的扇形,中心角.为方便观赏,增加收入,在种植区域外围规划观赏区(区域Ⅱ)和休闲区(区域Ⅲ),并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形,其中点,分别在边和上.已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元. (1)要使观赏区的年收入不低于5万元,求的最大值; (2)试问:当为多少时,年总收入最大? 解: (1)∵,,,所以与全等. 所以,观赏区的面积为 ,要使得观赏区的年收入不低于5万元,则要求,即,结合可知,则的最大值为. (2)种植区的面积为, 正方形面积为, 设年总收入为万元,则 , 其中,求导可得. 当时,,递增;当时,,递增. 所以当时,取得最大值,此时年总收入最大. 21.已知函数. (1)当时求函数的最小值; (2)若函数在上恒成立求实数的取值范围. 解: (Ⅰ)当时, ,当且仅当,即时等号成立, 所以. (Ⅱ)由题意得在上恒成立, 即在上恒成立, 所以在上恒成立, 即在上恒成立, 设,则在上单调递减,在上单调递增, ∴, 又, , 解得, 所以实数的取值范围是. 22.已知函数. (1)若,求函数的极值; (2)当 时,判断函数在区间上零点的个数. 解: (1)∵, ∴, 因为,所以, 当x变化时,的变化情况如下表: 1 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 由表可得当时,有极大值,且极大值为, 当时,有极小值,且极小值为. (2)由(1)得。 ∵ ,∴. ① 当时,在上单调递增,在上递减 又因为 所以在(0,1)和(1,2)上各有一个零点, 所以上有两个零点。 ② 当,即时,在上单调递增,在上递减,在上递增, 又因为 所以在上有且只有一个零点,在上没有零点, 所以在上有且只有只有一个零点. 综上: 当时,在上有两个零点; 当时,在上有且只有一个零点。 试卷第2页,总3页 2020届高三数学(理)“大题精练”2(答案解析) 17.已知,的内角的对边分别为,为锐角,且. (1)求角的大小; (2)若,,求的面积. 【详解】 (1)函数 , 由得:, 为锐角, , ; (2)由余弦定理有, ,,, , ,. 18.如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,,,是等边三角形,侧面底面,,,,点、点分别在棱、棱上,,,点是线段上的任意一点. (1)求证:平面; (2)求二面角的大小. 【详解】 (1)连接,由,得 平面 且,又, 则四边形为平行四边形, 故,平面 又 面面, 又面 平面. (2)如图,以中点为原点,的中垂线为轴,直线为轴,过于平行的直线为轴,建立空间直角坐标系 则面的其中一个法向量, 设面的一个法向量 又,, , ,令得, 则 故二面角的大小为. 19.在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位在某市定点帮扶某村户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标.将指标按照,,,,分成五组,得到如图所示的频率分布直方图.规定若,则认定该户为“绝对贫困户”,否则认定该户为“相对贫困户”;当时,认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这户家庭的受教育水平进行评测,家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种. (1)完成下面的列联表,并判断是否有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关: 受教育水平良好 受教育水平不好 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计 (2)上级部门为了调查这个村的特困户分布情况,在贫困指标处于的贫困户中,随机选取两户,用表示所选两户中“亟待帮助户”的户数,求的分布列和数学期望. 附:,其中. 【详解】 (1)由题意可知,绝对贫困户有(户),可得出如列联表: 受教育水平 良好 受教育水平 不好 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计 . 故有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关. (2)贫困指标在的贫困户共有(户), “亟待帮助户”共有(户), 依题意的可能值为,,, ,, , 则的分布列为 故. 20.已知椭圆的离心率为,其右顶点为,下顶点为,定点,的面积为,过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点,直线分别与轴交于两点. (1)求椭圆的方程; (2)试探究的横坐标的乘积是否为定值,说明理由. 【详解】 (1)由已知,的坐标分别是由于的面积为, ,又由得, 解得:,或(舍去), 椭圆方程为; (2)设直线的方程为,的坐标分别为 则直线的方程为,令,得点的横坐标 直线的方程为,令,得点的横坐标 把直线代入椭圆得 由韦达定理得, ∴,是定值. 21.已知函数. (1)当时,求函数的单调区间; (2)设,当时,对任意,存在,使得,求实数的取值范围. 【详解】 (1)函数的定义域为, , 由,得或. 当即时,由得, 由得或; 当即时,当时都有; 当时,单调减区间是,单调增区间是,; 当时,单调增区间是,没有单调减区间. (2)当时,由(1)知在上单调递减,在上单调递增, 从而在上的最小值为. 对任意,存在,使得, 即存在,使的值不超过在区间上的最小值. 由,. 令,则当时,. , 当时;当时,,. 故在上单调递减, 从而, 从而. 22.在直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为. (1)求圆的直角坐标方程; (2)若直线与圆交于两点,定点,求的值. 【详解】 (1)将代入,得:, 即圆的直角坐标方程为; (2)设点对应的参数为, 把直线l的参数方程代入, 得: 化简得, , . 23.[选修4-5:不等式选讲] 已知实数正数x, y满足. (1)解关于x的不等式; (2)证明: 【详解】 (1) 解得,所以不等式的解集为 (2)解法1: 且, . 当且仅当时,等号成立. 解法2: 且, 当且仅当时,等号成立. 2020届高三数学(理)“大题精练”1(答案解析) 17.已知为数列的前n项和,且满足. 求数列的通项; 令,证明:. 解:, 可得,解得, 时,, 即有,故数列是以为首项,以为公比的等比数列, 则; 证明:, , , , 则. 18.互联网时代的今天,移动互联快速发展,智能手机技术不断成熟,价格却不断下降,成为了生活中必不可少的工具中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一逐渐地,越来越多的中学生开始在学校里使用手机手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题,同学们为了解手机在中学生中的使用情况,对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4的饼图、注:图中2,单位:小时代表分组为i的情况 求饼图中a的值; 假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组?只需写出结论 从该校随机选取一名同学,能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于小时的概率,若能,请算出这个概率;若不能,请说明理由 解:由饼图得:. 假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替,估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第4组. 样本是从高二年级抽取的,根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间,不能估计全校学生情况,若抽取的同学是高二年级的学生,则可以估计这名同学每天平均使用手机小于小时的概率大约为,若抽到高一、高三的同学则不能估计. 19.如图,已知在四棱锥S﹣AFCD中,平面SCD⊥平面AFCD,∠DAF=∠ADC=90°,AD=1,AF=2DC=4,,B,E分别为AF,SA的中点. (1)求证:平面BDE∥平面SCF (2)求二面角A﹣SC﹣B的余弦值 (1)证明:∵∠DAF=∠ADC=90°,∴DC∥AF, 又B为AF的中点,∴四边形BFCD是平行四边形,∴CF∥BD, ∵BD?平面BDE,CF?平面BDE, ∴CF∥平面BDE, ∵B,E分别是AF,SA的中点,∴SF∥BE, ∵BE?平面BDE,SF?平面BDE, ∴SF∥平面BDE, 又CF∩SF=F,∴平面BDE∥平面SCF. (2)取CD的中点O,连结SO, ∵△SCD是等腰三角形,O是CD中点,∴SO⊥CD, 又平面SCD⊥平面AFCD,平面SCD∩平面AFCD=CD, ∴SO⊥平面AFCD,取AB的中点H,连结OH, 由题设知四边形ABCD是矩形,∴OH⊥CD,SO⊥OH, 以O为原点,OH为x轴,OC为y轴,OS为z轴,建立空间直角坐标系, 则A(1,﹣1,0),B(1,1,0),C(0,1,0),S(0,0,1), ∴(1,﹣2,0),(0,﹣1,1),(1,0,0), 设平面ASC的法向量(x,y,z), 则,取y=1,得(2,1,1), 设平面BSC的法向量(x,y,z), 则,取y=1,得(0,1,1), ∴cos, 由图知二面角A﹣SC﹣B的平面角为锐角, ∴二面角A﹣SC﹣B的余弦值为. 20.过抛物线外一点M作抛物线的两条切线,两切点的连线段称为点M对应的切点弦已知抛物线为,点P,Q在直线l:上,过P,Q两点对应的切点弦分别为AB,CD 当点P在l上移动时,直线AB是否经过某一定点,若有,请求出该定点的坐标;如果没有,请说明理由 当时,点P,Q在什么位置时,取得最小值? 解:设,,, 则,, 抛物线的方程可变形为,则, 直线PA的斜率为, 直线PA的方程,化简, 同理可得直线PB的方程为, 由可得, 直线AB的方程为,则是方程的解, 直线AB经过定点. 设,, 由可知,, , ,即, ,异号, 不妨设,则,且, ,当且仅当,时取等号, 即当,时,取得最小值4 21.已知函数. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明:当﹣1<a<0时,f(x)存在唯一的零点x0,且x0随着a的增大而增大. 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞); ; ①当a=0时,,则f(x)在(0,+∞)上单调递减; ②当a>0时,,而; 则f(x)在上单调递减,在上单调递增; ③当﹣1≤a<0时,f′(x)<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减; ④当a<﹣1时,f(x)在上单调递增,在上单调递减; 综上,当a<﹣1时,f(x)在上单调递增,在上单调递减; 当﹣1≤a≤0时,f′(x)<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增; (2)由(1)得当﹣1<a<0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; ∴f(x)至多有一个零点; 又﹣1<a<0; ∴,f(1)=a+1>0,; 令g(x)=x﹣1﹣lnx,则; ∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; g(x)≥g(1)=0,即x﹣1﹣lnx≥0,当且仅当x=1时取等号; ∴; ∴f(x)存在唯一得零点; 由f(x0)=0,得,即; ∵x0∈(1,+∞),; ∴,即a是x0的函数; 设,x∈(1,+∞),则; ∴h(x)为(1,+∞)上的增函数; ∴随增大而增大,反之亦成立. ∴x0随着a的增大而增大. 22.已知曲线E的参数方程为为参数,以直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求曲线E的直角坐标方程; 设点A是曲线E上任意一点,点A和另外三点构成矩形ABCD,其中AB,AD分别与x轴,y轴平行,点C的坐标为,求矩形ABCD周长的取值范围 解:曲线E的参数方程为为参数, 转换为直角坐标方程为:. 设点A的坐标为,,, 所以;,, , 所以矩形的周长的取值范围为 23.解不等式; 设a,b,且不全相等,若,证明:. 解:原不等式等价于或或, 解得:或或, 故原不等式的解集是; 证明:,,, , 同理,, 又a,b,且不全相等, 故上述三式至少有1个不取“”, 故 . 2020届高三数学(理)“大题精练”5 17.(12分)已知,数列、满足:,,记. (1)若,,求数列、的通项公式; (2)证明:数列是等差数列; (3)定义,在(1)的条件下,是否存在,使得有两个整数零点,如果存在,求出满足的集合,如果不存在,说明理由. 18.(12分)如图,在四面体中,平面,.,.M是的中点,P是的中点,点Q在线段上,且. (1)证明:; (2)若二面角的大小为60°,求的大小. 19.(12分)某工厂生产某种产品,为了控制质量,质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验.现有(且)份产品,有以下两种检验方式:(1)逐份检验,则需要检验次;(2)混合检验,将这份产品混合在一起作为一组来检验.若检测通过,则这份产品全部为正品,因而这份产品只要检验一次就够了;若检测不通过,为了明确这份产品究竟哪几份是次品,就要对这份产品逐份检验,此时这份产品的检验次数总共为次.假设在接受检验的样本中,每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的,且每份样本是次品的概率为. (1)如果,采用逐份检验方式进行检验,求检测结果恰有两份次品的概率; (2)现对份产品进行检验,运用统计概率相关知识回答:当和满足什么关系时,用混合检验方式进行检验可以减少检验次数? (3)①当(且)时,将这份产品均分为两组,每组采用混合检验方式进行检验,求检验总次数的数学期望; ②当(,且,)时,将这份产品均分为组,每组采用混合检验方式进行检验,写出检验总次数的数学期望(不需证明). 20.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一动点,当的面积最大时,其内切圆半径为,设过点的直线被椭圆截得线段, 当轴时,. (1)求椭圆的标准方程; (2)若点为椭圆的左顶点,是椭圆上异于左、右顶点的两点,设直线的斜率分别为,若,试问直线是否过定点?若过定点,求该定点的坐标;若不过定点,请说明理由. 21.(12分)已知函数. (1)当时,不等式成立,求整数的最大值;(参考数据:); (2)证明:当时,. 22.(10分)在极坐标系中,已知圆的圆心,且圆经过点. (1)求圆的普通方程; (2)已知直线的参数方程为(为参数),,点,直线交圆于两点,求的取值范围. 2020届高三数学(理)“大题精练”5 17.(12分)已知,数列、满足:,,记. (1)若,,求数列、的通项公式; (2)证明:数列是等差数列; (3)定义,在(1)的条件下,是否存在,使得有两个整数零点,如果存在,求出满足的集合,如果不存在,说明理由. 解:(1),, 由累加法得 . (2) 是公差为1的等差数列. (3)由(1)(2)得, 函数的零点为,要想为整数,则必为完全平方数,不妨设,此时, 又因为是连续的两个整数 能被2整除, 即函数的零点为整数, 所求的集合为. 18.(12分)如图,在四面体中,平面,.,.M是的中点,P是的中点,点Q在线段上,且. (1)证明:; (2)若二面角的大小为60°,求的大小. 解:(1)证明:如图,取的中点O,以O为原点,,所在射线y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 由题意知 设点C的坐标为, 因为, 所以 因为点M为的中点,故 又点P为的中点,故 所以, 所以. (2)解:设为平面的一个法向量 由, 知 取,得. 又平面的一个法向量为,于是 即.① 又,所以, 故 即.② 联立①②,解得(舍去)或. 所以. 又是锐角,所以. 19.(12分)某工厂生产某种产品,为了控制质量,质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验.现有(且)份产品,有以下两种检验方式:(1)逐份检验,则需要检验次;(2)混合检验,将这份产品混合在一起作为一组来检验.若检测通过,则这份产品全部为正品,因而这份产品只要检验一次就够了;若检测不通过,为了明确这份产品究竟哪几份是次品,就要对这份产品逐份检验,此时这份产品的检验次数总共为次.假设在接受检验的样本中,每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的,且每份样本是次品的概率为. (1)如果,采用逐份检验方式进行检验,求检测结果恰有两份次品的概率; (2)现对份产品进行检验,运用统计概率相关知识回答:当和满足什么关系时,用混合检验方式进行检验可以减少检验次数? (3)①当(且)时,将这份产品均分为两组,每组采用混合检验方式进行检验,求检验总次数的数学期望; ②当(,且,)时,将这份产品均分为组,每组采用混合检验方式进行检验,写出检验总次数的数学期望(不需证明). 解:(1)如果,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为 检测结果恰有两份次品的概率. (2)记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为,由已知得,的所有可能取值为 , = 要减少检验次数,则,则 ∴,,即, (3)①两组采用混合检验的检验次数分别为,,则由(2)知, ,, ②设这组采用混合检验的检验次数分别为,,,,,,且检验总次数, , , 所以检验总次数的数学期望. 20.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一动点,当的面积最大时,其内切圆半径为,设过点的直线被椭圆截得线段, 当轴时,. (1)求椭圆的标准方程; (2)若点为椭圆的左顶点,是椭圆上异于左、右顶点的两点,设直线的斜率分别为,若,试问直线是否过定点?若过定点,求该定点的坐标;若不过定点,请说明理由. 解:(1)由题意及三角形内切圆的性质可得,得① 将代入,结合②,得, 所以③,由①②③得 故椭圆的标准方程为 (2)设点的坐标分别为,. ①当直线的斜率不存在时,由题意得或, 直线的方程为 ②当直线的斜率存在时,设直线的方程为, 联立得,消去得, 由,得 ) 由可得, 得, 整理得 由(1)和(2)得,解得或 当时,直线的方程为,过定点,不合题意; 当时,直线的方程为,过定点, 综上直线过定点,定点坐标为. 21.(12分)已知函数. (1)当时,不等式成立,求整数的最大值;(参考数据:); (2)证明:当时,. 解:(1)当时,, 令,则, 因此在上为增函数, 又, ∴使得,即, 当时,,为减函数;当时,,为增函数; ∴,所以整数的最大值为3 (2)法一:要证,即证, 令,则, 令,则,, ∵,∴在上为增函数,又,∴, ∴在上为增函数,又,∴, ∴在上为增函数,又,∴,即, ∴在上为增函数,∴,故. 22.(10分)在极坐标系中,已知圆的圆心,且圆经过点. (1)求圆的普通方程; (2)已知直线的参数方程为(为参数),,点,直线交圆于两点,求的取值范围. 解:(1)∵ 的直角坐标为, 的直角坐标为, ∴ 圆C的半径为,∴ 圆C的直角坐标方程为. (2)将代入圆C的直角坐标方程, 得,即, ∴ , ∴ . ∵ ,∴ ,∴ , 即弦长的取值范围是. 2020届高三数学(理)“大题精练”2 17.已知,的内角的对边分别为,为锐角,且. (1)求角的大小; (2)若,,求的面积. 18.如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,,,是等边三角形,侧面底面,,,,点、点分别在棱、棱上,,,点是线段上的任意一点. (1)求证:平面; (2)求二面角的大小. 19.在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位在某市定点帮扶某村户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标.将指标按照,,,,分成五组,得到如图所示的频率分布直方图.规定若,则认定该户为“绝对贫困户”,否则认定该户为“相对贫困户”;当时,认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这户家庭的受教育水平进行评测,家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种. (1)完成下面的列联表,并判断是否有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关: 受教育水平良好 受教育水平不好 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计 (2)上级部门为了调查这个村的特困户分布情况,在贫困指标处于的贫困户中,随机选取两户,用表示所选两户中“亟待帮助户”的户数,求的分布列和数学期望. 附:,其中. 20.已知椭圆的离心率为,其右顶点为,下顶点为,定点,的面积为,过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点,直线分别与轴交于两点. (1)求椭圆的方程; (2)试探究的横坐标的乘积是否为定值,说明理由. 21.已知函数. (1)当时,求函数的单调区间; (2)设,当时,对任意,存在,使得,求实数的取值范围. 22.在直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为. (1)求圆的直角坐标方程; (2)若直线与圆交于两点,定点,求的值. 23.[选修4-5:不等式选讲] 已知实数正数x, y满足. (1)解关于x的不等式; (2)证明: 2020届高三数学(理)“大题精练”4(答案解析) 17.已知函数. (1)若的最小值是2,求a; (2)把函数图像向右平移个单位长度,得到函数图像,若时,求使成立的x的取值集合. 解:(1)∵ ∴,∴ (2)∵ 由知, ∴ 解得, ∴满足的x取值的集合为. 18.已知定义在R上的偶函数和奇函数满足. (1)证明:; (2)当时,不等式恒成立,求实数a的取值范围. 解:(1)依题意①, 又为偶函数,为奇函数 ∴,即② ∴由①②得, ∴得证; (2)原不等式可化为 ∴当时,成立,其中 ∴当时, 当且仅当时取最小值 ∴, ∴. 19.已知函数. (1)求的极值; (2)若在内有且仅有一个零点,求在区间上的最大值、最小值. 解:(1) 当时,, ∴在R上是单调增函数,故无极值. 当,此时,当或时, 时, ∴, 当时,,当或, , ∴, 综上,当时,无极值, 当时,,, 当时,, (2)若在内有且只有一个零点 由(1)知,且 即,∴∴ 又当时,, ,∴, 故在上的最大值为,最小值为. 20.已知数列中,,,且. (1)判断数列足否为等比数列,并说明理由; (2)若,求数列的前n项和. 解:(1)是等比数列 依题意知当n为偶数时, ∴,又 ∴数列为公比是3的等比数列 (2)当n为奇数时, 所以数列是以为首项,以为公差的等差数列 ∴ ∴ ∴ . 21.已知钝角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中A为钝角,若,且. (1)求角C; (2)若点D满足,且,求的周长. 解:(1)∵,∴,又, ∴,∴ 又A为钝角,∴为锐角, ∴即 又,∴ ∴,∴ ∵,∴B为锐角,故, ∴, ∴,,∴ (2)∵,∴,又,由余弦定理知 ,∴,∴ 法一:∴ ∴ ∴即 ∴ ∴的周长为 法二:∵,∴,又,由余弦定理得 ,∴① 在中, ∴② 联立①②得, 故的周长为. 22.已知函数 (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 解:(1) (ⅰ)时,当时,;当时,, 所以f(x)在单调递减,在单调递增; (ⅱ)时 若,则,所以f(x)在单调递增; 若,则,故当时,, ,;所以f(x)在单调递增,在单调递减; 若,则,故当,, ,;所以f(x)在单调递增,在单调递减; 综上:时,f(x)在单调递减,在单调递增; 时,f(x)在单调递增; 时,f(x)在单调递增,在单调递减; 时,f(x)在单调递增,在单调递减; (2)(ⅰ)当a>0,则由(1)知f(x)在单调递减,在单调递增, 又,,取b满足,且, 则,所以f(x)有两个零点 (ⅱ)当a=0,则,所以f(x)只有一个零点 (ⅲ)当a<0,若,则由(1)知,f(x)在单调递增.又当时,,故f(x)不存在两个零点 ,则由(1)知,f(x)在单调递减,在单调递增,又当,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点 综上,a的取值范围为.

    • 2020-05-16
    • 下载10次
    • 2530.25KB
  • ID:3-7310046 高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点25 推理与证明、算法、复数(综合训练)

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    高考微点25 推理与证明、算法、复数(综合训练) 1.(2019·广州调研)若复数z满足(1+2i)z=1-i,则|z|=(  ) A.        B. C. D. 解析:选C 法一:由(1+2i)z=1-i,可得z====--i,所以|z|==,选C. 法二:由(1+2i)z=1-i可得|(1+2i)z|=|1-i|,即|1+2i||z|=|1-i|,得到|z|=,故|z|=,选C. 2.已知复数z=(i为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限,则实数a的取值范围是(  ) A.     B. C. D. 解析:选A ∵z===, 又在第三象限,∴解得-22 019,故结束循环. 结合选项可知,选D. 4.设复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,且z1=2-i,则z1·2=(  ) A.-4+3i B.4+3i C.-3-4i D.-3+4i 解析:选D 因为复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,且z1=2-i,所以z2=-2-i,2=-2+i,z1·2=(2-i)·(-2+i)=-3+4i,故选D. 5.下面对命题“函数f(x)=x+是奇函数”的证明不是综合法的是(  ) A.?x∈R且x≠0,f(-x)=(-x)+=-=-f(x),所以f(x)是奇函数 B.?x∈R且x≠0,f(x)+f(-x)=x++(-x)+=0,所以f(x)=-f(-x),所以f(x)是奇函数 C.?x∈R且x≠0,所以f(x)≠0,所以==-1,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数 D.取x=-1,f(-1)=-1+=-2,又f(1)=1+=2,即f(-1)=-f(1),所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数 解析:选D 数学中的综合法就是根据已知的条件、定理、公理和已知的结论,经过严密的推理,推出要证的结论,其显著的特征是“由因导果”,前三个选项中对命题“函数f(x)=x+是奇函数”的证明都是“由因导果”,选项D中属于不完全归纳法.故选D. 6.将正整数排列如下图: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 … 则图中数2 018出现在(  ) A.第44行第81列 B.第45行第81列 C.第44行第82列 D.第45行第82列 解析:选D 由题意可知第n行有2n-1个数,则前n行的数的个数为1+3+5+…+(2n-1)=n2,因为442=1 936,452=2 025,且1 936<2 018<2 025,所以2 018在第45行,又第45行有2×45-1=89个数,2 018-1 936=82,故2 018在第45行第82列,选D. 7.(2019·昆明高三摸底)如图所示的程序框图来源于中国古代数学著作《孙子算经》,其中定义[x]表示不超过x的最大整数,例如[0.6]=0,[2]=2,[3.6]=3.执行该程序框图,则输出的a=(  ) A.9 B.16 C.23 D.30 解析:选C 执行程序框图,k=1,a=9,9-3·=0≠2;k=2,a=16,16-3·=1≠2;k=3,a=23,23-3·=2,23-5·=3,满足条件,退出循环.则输出的a=23.故选C. 8.某程序框图如图所示,若该程序输出的结果是,则判断框内可填入的条件是(  ) A.i<4? B.i>4? C.i<5? D.i>5? 解析:选C 依题意知,初始值i=1,T=0,P=15,第一次循环:i=2,T=1,P=5;第二次循环:i=3,T=2,P=1;第三次循环:i=4,T=3,P=;第四次循环:i=5,T=4,P=.因此循环次数应为4,故“i<5?”可以作为判断框内的条件.故选C. 9.已知数列{an}是正项等差数列,若cn=,则数列{cn}也为等差数列.已知数列{bn}是正项等比数列,类比上述结论可得(  ) A.若{dn}满足dn=,则{dn}也是等比数列 B.若{dn}满足dn=,则{dn}也是等比数列 C.若{dn}满足dn=(b1·2b2·3b3·…·nbn),则{dn}也是等比数列 D.若{dn}满足dn=(b1·b·b·…·b),则{dn}也是等比数列 解析:选D 设等比数列{bn}的公比为q(q>0), 则b1·b·b·…·b=b1·(b1q)2·(b1q2)3·…·(b1qn-1)n=(b1·b·b·…·b)(q1×2·q2×3·…·q(n-1)n)=b·q1×2+2×3+…+(n-1)n=b1q12+1+22+2+…+(n-1)2+(n-1)=b1q,所以dn=(b1·b·b·…·b)=b1q,即{dn}也是等比数列. 10.(2019·贵阳适应性考试)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则整数a的值为(  ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:选A 首先给变量S,k赋值,S=1,k=1,执行S=S+,得S=1+,k=2;执行S=1++,k=3;…继续执行,得S=1+++…+=1+++…+=2-,由2-=,得k=6,所以整数a=6,故选A. 11.已知i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则lg(a+b)的值是________. 解析:因为==-,所以a=,b=-,lg(a+b)=lg=lg 1=0. 答案:0 12.甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过西岳华山时,甲说:我没有游览过;乙说:丙游览过;丙说:丁游览过;丁说:我没游览过.在以上的回答中只有一人回答正确且只有一人游览过华山.根据以上条件,可以判断游览过华山的人是________. 解析:假设甲去过,则甲、乙、丙说的都是假话,丁说的是真话,符合题意. 答案:甲 13.执行如图所示的程序框图,若输入x=-2,h=0.5,则输出的各个数的和为________. 解析:由程序框图可知,当x=-2时,y=0;当x=-1.5时,y=0;当x=-1时,y=0;当x=-0.5时,y=0;当x=0时,y=0;当x=0.5时,y=0.5;当x=1时,y=1;当x=1.5时,y=1;当x=2时,y=1,∴输出的各个数的和为3.5. 答案:3.5 14.若x的取值范围为[0,10],给出如图所示的程序框图,输入一个数x,则输出的y<5的概率为________. 解析:由题意可得程序框图所表示的函数表达式是y=当y<5时,若输出y=x+1(0≤x≤7),此时输出的结果满足x+1<5,所以0≤x<4,若输出y=x-1(74? C.i<5? D.i>5? 9.已知数列{an}是正项等差数列,若cn=,则数列{cn}也为等差数列.已知数列{bn}是正项等比数列,类比上述结论可得(  ) A.若{dn}满足dn=,则{dn}也是等比数列 B.若{dn}满足dn=,则{dn}也是等比数列 C.若{dn}满足dn=(b1·2b2·3b3·…·nbn),则{dn}也是等比数列 D.若{dn}满足dn=(b1·b·b·…·b),则{dn}也是等比数列 10.(2019·贵阳适应性考试)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则整数a的值为(  ) A.6 B.7 C.8 D.9 11.已知i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则lg(a+b)的值是________. 12.甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过西岳华山时,甲说:我没有游览过;乙说:丙游览过;丙说:丁游览过;丁说:我没游览过.在以上的回答中只有一人回答正确且只有一人游览过华山.根据以上条件,可以判断游览过华山的人是________. 13.执行如图所示的程序框图,若输入x=-2,h=0.5,则输出的各个数的和为________. 14.若x的取值范围为[0,10],给出如图所示的程序框图,输入一个数x,则输出的y<5的概率为________.

    • 2020-05-15
    • 下载2次
    • 316.11KB
  • ID:3-7309957 高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点24 统计与统计案例

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    高考微点24 统计与统计案例 一、频率分布直方图 [微要点] 1.牢记频率分布直方图的关系式 (1)频率=; (2)小长方形面积=组距×=频率; (3)所有小长方形面积的和=各组频率和=1. 2.注意两个易误点 (1)易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为. (2)同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图的形状也会不同. [微练习] 1.在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列{an}(n=1,2,3,4),已知a2=2a1,且样本容量为300,则小长方形面积最小的一组的频数为(  ) A.20 B.40 C.30 D.无法确定 解析:选A 由已知,得4个小长方形的面积依次为a1,2a1,4a1,8a1,所以a1+2a1+4a1+8a1=1,a1=,因此面积最小的一组的频数为×300=20. 2.某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:g)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100 g的个数是36,则样本中净重大于或等于98 g并且小于104 g的产品的个数是(  ) A.90          B.75 C.60 D.45 解析:选A 产品净重小于100 g的频率为(0.050+0.100)×2=0.300,已知样本中产品净重小于100 g的个数是36,设样本容量为n,则=0.300,所以n=120,净重大于或等于98 g并且小于104 g的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于98 g并且小于104 g的产品的个数是120×0.75=90. [微要点] 1.数据x1,x2,x3,…,xn的数字特征公式 (1)平均数:=. (2)方差: s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. (3)标准差: s= . 2.平均数的性质 (1)若给定一组数据x1,x2,…,xn的平均数为,则ax1,ax2,…,axn的平均数为a;ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为a+b. (2)若M个数的平均数是X,N个数的平均数是Y,则这(M+N)个数的平均数是;若两组数据x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn的平均数分别是和,则x1+y1,x2+y2,…,xn+yn的平均数是+. 3.方差的性质 若给定一组数据x1,x2,…,xn,其方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2;ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2,特别地,当a=1时,有x1+b,x2+b,…,xn+b的方差为s2,这说明将一组数据中的每一个数据都加上一个相同的常数,方差是不变的,即不影响数据的波动性. [微练习] 1.某品牌空调在元旦期间举行促销活动,如图所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况(单位:台),则销售量的中位数是(  ) A.13 B.14 C.15 D.16 解析:选C 由题意得,中位数是=15. 2.已知样本数据3,4,5,x,y的平均数是5,方差是2,则xy=(  ) A.42 B.40 C.36 D.30 解析:选A 由=5,得x+y=13.① 由×[(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(x-5)2+(y-5)2]=2,得x2+y2-10x-10y+45=0,x2+y2=85.② ①2-②得,2xy=84,即xy=42,故选A. 3.若数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为=5,方差s2=2,则数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均数和方差分别为(  ) A.5,2 B.16,2 C.16,18 D.16,9 解析:选C ∵x1,x2,x3,…,xn的平均数为5, ∴=5, ∴+1=3×5+1=16, ∵x1,x2,x3,…,xn的方差为2, ∴3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的方差是32×2=18.故选C. [微要点] 1.线性回归方程 方程=x+称为线性回归方程,其中=,=-,(,)称为样本点的中心. 2.随机变量 K2=,其中n=a+b+c+d. 3.2个易误点 (1)易混淆相关关系与函数关系,两者的区别是函数关系是一种确定的关系,而相关关系是一种非确定的关系,函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系. (2)回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上,实质上回归直线必过(,)点,可能所有的样本数据点都不在直线上. [微练习] 1.随机询问某幼儿园的100名孩子是否爱吃零食,得到如下的2×2列联表: 男孩 女孩 总计 爱吃零食 10 40 50 不爱吃零食 20 30 50 总计 30 70 100 附: P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 k0 2.706 3.841 5.024 由K2=计算得 K2=≈4.762. 则得到的正确结论是(  ) A.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“是否爱吃零食与性别有关” B.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“是否爱吃零食与性别无关” C.有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关” D.有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关” 解析:选A ∵K2≈4.762>3.841,∴在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“是否爱吃零食与性别有关”. 2.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,计算得i=80,i=20,iyi=184,=720.已知家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程为=x+,则变量x与y________(填“正相关”或“负相关”);若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄是________千元. 解析:由题意知n=10,=i=8,=i=2, ∴==0.3,=2-0.3×8=-0.4, ∴=0.3x-0.4,∵0.3>0,∴变量x与y正相关. 当x=7时,=0.3×7-0.4=1.7(千元). 答案:正相关 1.7 1.某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后,并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图所示).据此估计此次考试成绩的众数是(  ) A.100 B.110 C.115 D.120 解析:选C 众数是一组数据中出现次数最多的数,结合题中频率分布折线图可以看出,数据“115”对应的纵坐标最大,所以相应的频率最大,频数最大,据此估计此次考试成绩的众数是115. 2.某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温,并制作了对照表: 气温(℃) 18 13 10 -1 杯数 24 34 38 64 由表中数据算得回归方程=x+中的=-2,预测当天气温为-5 ℃时,热茶销售量为(  ) A.70 B.50 C.60 D.80 解析:选A 由表中数据,得=×(18+13+10-1)=10,=×(24+34+38+64)=40, 将(10,40)代入回归方程=x+中,且=-2, 所以40=10×(-2)+,解得=60, 所以=-2x+60. 所以当x=-5时,=-2×(-5)+60=70, 预测当天气温为-5 ℃时,热茶销售量为70杯. 3.某校随机抽取20个班调查各班有出国意向的学生人数,所得数据的茎叶图如图所示,以5为组距将数据分成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40],则对应的频率分布直方图是(  ) 解析:选A 法一:由茎叶图可知数据在[0,5)内的有1个,其为=0.01,在[5,10)内的有1个,其为=0.01,在[10,15)内的有4个,其为=0.04,结合选项可知选A. 法二:由频率分布直方图的组距为5,可排除C、D选项,又在区间[0,5),[5,10)内的数据个数相等,所以其相等,故排除B选项,选A. 4.某单位有840名职工,现采用系统抽样的方法抽取42名职工进行对公司福利满意度的问卷调查,将840人按1,2,3,…,840随机编号,若从抽取的42人中随机抽取1人进行追踪调查,则此人的编号落入区间[481,720]的概率为(  ) A. B.. C. D. 解析:选B 由题意得,系统抽样的分段间隔为=20,则编号落入区间[481,720]的人数为=12,所以所求概率P==. 5.如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图,有一个数字被污损,用a(3≤a≤8且a∈N)表示被污损的数字.则甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩的概率为(  ) A. B. C. D. 解析:选D 甲同学的历史平均成绩为(88+90+93+94+95)=92分,若甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩,则(86+88+92+98+90+a)≤92,得a≤6.因为3≤a≤8,所以3≤a≤6且a∈N,记甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩为事件A,则事件A包含4个基本事件,而基本事件总数共有6个,所以事件A的概率P(A)==. 6.某校在一次模拟考试中约有1 000人参加考试,其数学考试成绩X~N(90,a2)(a>0,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的,则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数为(  ) A.600 B.400 C.300 D.200 解析:选D 由正态分布密度曲线可得P(700,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的,则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数为(  ) A.600 B.400 C.300 D.200 7.将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,其9个分数的茎叶图如图所示,后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示,则7个剩余分数的方差为(  ) A. B.. C.36 D. 8.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表: x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是(  ) A.y=2x-2 B.y=x C.y=log2x D.y=(x2-1) 9.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间(单位:时),已知甲班数据的平均数为13,乙班数据的中位数为17,那么茎叶图中x的值为______,y的值为________. 10.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m,如下表: 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则根据试验结果,体现A,B两变量有更强的线性相关性的是________. 11.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.X表示在未来3天内日销售量不低于100个的天数,则E(X)=________,方差D(X)=________. 12.(2019·兰州诊断考试)已知样本数据a1,a2,…,a2 018的方差是4,若bi=ai-2(i=1,2,…,2 018),则数据b1,b2,…,b2 018的标准差为________. 13.某省高考改革实施方案指出:该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目成绩共同构成,该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的态度,从中随机抽取了100名城乡家长作为样本进行调查,调查结果显示样本中有25人持不赞成意见,如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图. (1)根据已知条件与等高条形图完成下面的2×2列联表,并判断我们能否有95%的把握认为“对高考改革方案的态度与城乡户口有关”? 赞成 不赞成 合计 城镇居民 农村居民 合计 (2)用样本的频率估计概率,若随机在全省不赞成高考改革方案的家长中抽取3个,记这3个家长中是城镇户口的人数为X,试求X的分布列及数学期望E(X). P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.005 k0 2.706 3.841 7.879 附:K2=,其中n=a+b+c+d. 14.随着网络的发展,网上购物越来越受到人们的喜爱,各大购物网站为增加收入,促销策略越来越多样化,促销费用也不断增加,下表是某购物网站2019年1~8月促销费用x(万元)和产品销量y(万件)的具体数据. 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 促销费用x 2 3 6 10 13 21 15 18 产品销量y 1 1 2 3 3.5 5 4 4.5 (1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数r加以说明;(系数精确到0.001) (2)建立y关于x的回归方程=x+(系数精确到0.01),如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件,预测至少需投入促销费用多少万元.(结果精确到0.01) 参考数据: (xi-11)(yi-3)=74.5, (xi-11)2=340, (yi-3)2=16.5,≈18.44,≈4.06,其中xi,yi分别为第i个月的促销费用和产品销量,i=1,2,3,…,8. 参考公式:(ⅰ)样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相关系数r=. (ⅱ)对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归方程=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=-.

    • 2020-05-15
    • 下载5次
    • 377.29KB
  • ID:3-7309955 高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点23 随机变量及其分布列

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    高考微点23 随机变量及其分布列 [微要点] 1.相互独立事件的性质 (1)若事件A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A),P(AB)=P(A)P(B). (2)如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也相互独立. 2.二项分布 一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率. 3.易混“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生,两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响,两个事件相互独立不一定互斥. [微练习] 1.若生男孩和生女孩的概率相等,则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为(  ) A. B. C. D. 解析:选B 设女孩个数为X,女孩多于男孩的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=C2×+C3=3×+=. 2.已知事件A,B相互独立,P(A)=0.4,P(B)=0.3,给出下列四个式子:①P(AB)=0.12;②P(B)=0.18;③P(A)=0.28;④P()=0.42.其中正确的有(  ) A.4个 B.2个 C.3个 D.1个 解析:选A 根据事件A,B相互独立,P(A)=0.4,P(B)=0.3. 则P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.3=0.12,故①正确; P(B)=P()P(B)=0.6×0.3=0.18,故②正确; P(A)=P(A)P()=0.4×0.7=0.28,故③正确; P( )=P()P()=0.6×0.7=0.42,故④正确. 3.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人每射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响,则p值为(  ) A. B.. C. D. 解析:选C 记“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,则“甲射击一次,未击中目标”为事件,“乙射击一次,未击中目标”为事件,所以P(A)=,P()=1-=,P(B)=p,P()=1-p.依题意,得×(1-p)+×p=,解得p=. 4.若每名学生测试达标的概率都是(相互独立),测试后k个人达标,经计算5人中恰有k人同时达标的概率是,则实数k的值为________. 解析:Ck5-k=,即C2k=80.k=1时,C2k=10;k=2时,C2k=40;k=3时,C2k=80;k=4时,C2k=80;k=5时,C2k=32.经验证,k=3或4. 答案:3或4 [微要点] 1.离散型随机变量的期望、方差公式 离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 x3 … xi … xn P p1 p2 p3 … pi … pn 期望:E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn. 方差:D(X)=(x1-E(X))2·p1+(x2-E(X))2·p2+…+(xi-E(X))2·pi+…+(xn-E(X))2·pn. 2.离散型随机变量期望与方差的性质结论 若a,b是常数,X是随机变量,则 (1)期望的性质 ①E(k)=k(k为常数); ②E(aX+b)=aE(X)+b; ③E(X1+X2)=E(X1)+E(X2); ④若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2). (2)方差的性质 ①D(k)=0(k为常数); ②D(aX+b)=a2D(X); ③若X1,X2,…,Xn两两独立,则D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn). (3)两点分布与二项分布的期望与方差 ①若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p). ②若随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p). [微练习] 1.已知随机变量ξ的概率分布如下表: ξ -1 0 1 P a b c 其中a,b,c成等差数列,若E(ξ)=,则D(ξ)=(  ) A. B.. C. D.1 解析:选C 因为E(ξ)=c-a=,2b=a+c,a+b+c=1,所以a=,b=,c=,D(ξ)=2×+2×+2×=. 2.袋中装有大小完全相同,标号分别为1,2,3,…,9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如:若取出球的标号为3,4,5,则有两组相邻的标号3,4和4,5,此时ξ的值是2),则E(ξ)=(  ) A. B.. C. D. 解析:选D 依题意得,ξ的所有可能取值是0,1,2.取3个球,剩下6个球,6个球排一排形成7个空,ξ=0表示3个球标号均不相邻,即在7个空中插3个,从而P(ξ=0)==,同理可得P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,因此E(ξ)=0×+1×+2×=. 3.某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择: 项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和; 项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,也可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和. 针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由. 解:若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为 X1 300 -150 P ∴E(X1)=300×+(-150)×=200(万元). D(X1)=(300-200)2×+(-150-200)2×=35 000, 若按“项目二”投资,设获利X2万元,则X2的分布列为 X2 500 -300 0 P ∴E(X2)=500×+(-300)×+0×=200(万元). D(X2)=(500-200)2×+(-300-200)2×+(0-200)2×=140 000. 所以E(X1)=E(X2),D(X1),则p的取值范围是________. 解析:由题意,得P(Y=1)=p,P(Y=2)=(1-p)p,P(Y=3)=(1-p)2,则E(Y)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>,解得p>或p<.又p∈(0,1),所以p∈. 答案: 7.某投资公司现提供两种一年期投资理财方案,一年后投资盈亏的情况如下表: 投资股市 获利40% 不赔不赚 亏损20% 概率P 购买基金 获利20% 不赔不赚 亏损10% 概率P m n (1)甲、乙两人在投资顾问的建议下分别选择“投资股市”和“购买基金”.若一年后他们中至少有一人盈利的概率大于,求m的取值范围. (2)若m=,某人现有10万元资金,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择出一种,那么选择何种方案可使得一年后的投资收益的数学期望值较大? 解:(1)记事件A为“甲投资股市且盈利”,事件B为“乙购买基金且盈利”,事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人盈利”,则C=A∪B∪AB,其中A,B相互独立. ∵P(A)=,P(B)=m, ∴P(C)=P(A)+P(B)+P(AB)=(1-m)+m+m=(1+m). ∴(1+m)>,∴m>. 又∵m++n=1且n≥0,∴m≤, ∴,即E(ξ)>E(η), ∴选择“投资股市”可使得一年后的投资收益的数学期望值较大. 8.(2019·长春质检)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉,在推出的第二季名师云课中,数学学科共计推出36节云课,为了更好地将课程内容呈现给学生,现对某一时段云课的点击量进行统计: 点击量 [0,1 000] (1 000,3 000] (3 000,+∞) 节数 6 18 12 (1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节,求选出的点击量超过3 000的节数; (2)为了更好地搭建云课平台,现将云课进行剪辑,若点击量在区间[0,1 000]内,则需要花费40分钟进行剪辑,若点击量在区间(1 000,3 000]内,则需要花费20分钟进行剪辑,点击量超过3 000,则不需要剪辑,现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑,求剪辑时间X的分布列与数学期望. 解:(1)根据分层抽样可知,选出的6节课中点击量超过3 000的节数为×6=2. (2)由分层抽样可知,(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节,点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节,故X的可能取值为0,20,40,60. P(X=0)==, P(X=20)===, P(X=40)===, P(X=60)===, 则X的分布列为 X 0 20 40 60 P 即E(X)=0×+20×+40×+60×=. 高考微点23 随机变量及其分布列 [微要点] 1.相互独立事件的性质 (1)若事件A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A),P(AB)=P(A)P(B). (2)如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也相互独立. 2.二项分布 一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率. 3.易混“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生,两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响,两个事件相互独立不一定互斥. [微练习] 1.若生男孩和生女孩的概率相等,则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为(  ) A. B. C. D. 2.已知事件A,B相互独立,P(A)=0.4,P(B)=0.3,给出下列四个式子:①P(AB)=0.12;②P(B)=0.18;③P(A)=0.28;④P()=0.42.其中正确的有(  ) A.4个 B.2个 C.3个 D.1个 3.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人每射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响,则p值为(  ) A. B.. C. D. 4.若每名学生测试达标的概率都是(相互独立),测试后k个人达标,经计算5人中恰有k人同时达标的概率是,则实数k的值为________. [微要点] 1.离散型随机变量的期望、方差公式 离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 x3 … xi … xn P p1 p2 p3 … pi … pn 期望:E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn. 方差:D(X)=(x1-E(X))2·p1+(x2-E(X))2·p2+…+(xi-E(X))2·pi+…+(xn-E(X))2·pn. 2.离散型随机变量期望与方差的性质结论 若a,b是常数,X是随机变量,则 (1)期望的性质 ①E(k)=k(k为常数); ②E(aX+b)=aE(X)+b; ③E(X1+X2)=E(X1)+E(X2); ④若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2). (2)方差的性质 ①D(k)=0(k为常数); ②D(aX+b)=a2D(X); ③若X1,X2,…,Xn两两独立,则D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn). (3)两点分布与二项分布的期望与方差 ①若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p). ②若随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p). [微练习] 1.已知随机变量ξ的概率分布如下表: ξ -1 0 1 P a b c 其中a,b,c成等差数列,若E(ξ)=,则D(ξ)=(  ) A. B.. C. D.1 2.袋中装有大小完全相同,标号分别为1,2,3,…,9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如:若取出球的标号为3,4,5,则有两组相邻的标号3,4和4,5,此时ξ的值是2),则E(ξ)=(  ) A. B.. C. D. 3.某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择: 项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和; 项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,也可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和. 针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由. 1.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为,则p=(  ) A.  B. C. D. 2.设X~B(4,p),其中0,则p的取值范围是________. 7.某投资公司现提供两种一年期投资理财方案,一年后投资盈亏的情况如下表: 投资股市 获利40% 不赔不赚 亏损20% 概率P 购买基金 获利20% 不赔不赚 亏损10% 概率P m n (1)甲、乙两人在投资顾问的建议下分别选择“投资股市”和“购买基金”.若一年后他们中至少有一人盈利的概率大于,求m的取值范围. (2)若m=,某人现有10万元资金,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择出一种,那么选择何种方案可使得一年后的投资收益的数学期望值较大? 8.(2019·长春质检)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉,在推出的第二季名师云课中,数学学科共计推出36节云课,为了更好地将课程内容呈现给学生,现对某一时段云课的点击量进行统计: 点击量 [0,1 000] (1 000,3 000] (3 000,+∞) 节数 6 18 12 (1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节,求选出的点击量超过3 000的节数; (2)为了更好地搭建云课平台,现将云课进行剪辑,若点击量在区间[0,1 000]内,则需要花费40分钟进行剪辑,若点击量在区间(1 000,3 000]内,则需要花费20分钟进行剪辑,点击量超过3 000,则不需要剪辑,现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑,求剪辑时间X的分布列与数学期望.

    • 2020-05-15
    • 下载4次
    • 75.88KB
  • ID:3-7309954 高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点22 古典概型与几何概型

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    高考微点22 古典概型与几何概型 [微要点] 1.谨记古典概型的概率公式 P(A)=. 2.掌握古典概型的两个特点 (1)有限性,即在一次试验中,基本事件的个数是有限的; (2)等可能性,即每个基本事件出现的可能性是相等的. 3.注意两个易误点 (1)在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时,易忽视他们是否是等可能的. (2)概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽视只有当A∩B=?,即A,B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0. [微练习] 1.从集合{1,2,3,…,10}中任取5个数组成集合A,则A中任意两个元素之和不等于11的概率为(  ) A.       B. C. D. 解析:选C 两个元素之和等于11的有(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),共5组.若A中任意两个元素之和不等于11,则5个元素必须只有每组中的其中一个,故所求概率P==. 2.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b0,b>0,共有2种满足,所以所求概率P=. 答案: [微要点] 1.谨记几何概型的概率公式 P(A)=. 2.掌握几何概型的两个特点 (1)无限性,即试验中所有可能出现的基本事件有无限多个; (2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性相等. [微练习] 1.若在区间上随机取一个数x,则cos x的值介于0到之间的概率为(  ) A. B. C. D. 解析:选A 当-≤x≤时,由0≤cos x≤,得-≤x≤-或≤x≤,根据几何概型概率公式得所求概率为. 2.在面积为1的等边三角形ABC内取一点P,使△ABP,△ACP,△BCP的面积都小于的概率为(  ) A. B. C. D. 解析:选D 如图所示,作△ABC的中位线DE,DF,EF,则点P落在△DEF中,满足题意,记“△ABP,△ACP,△BCP的面积都小于”为事件A,则P(A)==. 3.(2019·长春质检)若向区域Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}内投点,则该点落在由直线y=x与曲线y=围成区域内的概率为(  ) A. B. C. D. 解析:选B 作出示意图如图所示,区域Ω内,直线y=x与曲线y=围成区域为图中阴影部分,其面积为(-x)dx==-=,则所求概率P==. 4.如图,将半径为1的圆分成相等的四段弧,再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一点,此点落在星形区域内的概率为(  ) A.-1 B. C.1- D. 解析:选A 顺次连接星形的四个顶点,则星形区域的面积等于()2-4=4-π,又因为圆的面积等于π×12=π,因此所求的概率等于=-1. 5.已知正棱锥S?ABC的底面边长为4,高为3,在正棱锥内任取一点P,使得VP?ABC<VS?ABC的概率是(  ) A. B. C. D. 解析:选B 由题意知,当点P在三棱锥的中截面以下时,满足VP?ABC<VS?ABC, 故使得VP?ABC<VS?ABC的概率 P==1-3=. 1.小明从某书店购买5本不同的教辅资料,其中语文2本,数学2本,物理1本.若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是(  ) A.        B. C. D. 解析:选B 语文、数学只有一科的两本书相邻,有2AAA=48种摆放方法;语文、数学两科的两本书都相邻,有AAA=24种摆放方法,而五本不同的书排成一排共有A=120种摆放方法.故所求概率为1-=. 2.在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD?A1B1C1D1内随机取一点M,则点M到点O的距离大于1的概率为(  ) A.1- B. C.1- D. 解析:选C 如图,到点O的距离等于1的点的轨迹是一个半球面,该半球面对应的半球体的体积V1=×π×13=.事件“点M与点O的距离大于1的概率”对应的区域体积为23-.根据几何概型概率公式,得点M与点O的距离大于1的概率P==1-.故选C. 3.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的中心,A1(1,0),任取不同的两点Ai,Aj,点P满足++=0,则点P落在第一象限的概率是(  ) A. B. C. D. 解析:选A 根据题意共有C=28个基本事件,其中使点P落在第一象限的有C+2=5个基本事件,故所求的概率是,故选A. 4.如图,矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)=sin x,x∈(0,π),及直线x=a,a∈(0,π)与x轴围成,向矩形OABC内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为,则a的值是(  ) A. B. C. D. 解析:选B S阴影=sin xdx=(-cos x) =1-cos a,由题意,得==, ∴cos a=-,解得a=. 5.已知函数f(x)=-x2+ax-b.若a,b都是从区间[0,4]内任取的一个数,则f(1)>0成立的概率是________. 解析:f(1)=-1+a-b>0,即a-b>1, 如图,A(1,0),B(4,0),C(4,3), 则S△ABC=,故所求概率P= ==. 答案: 6.某同学同时掷两枚骰子,得到点数分别为a,b,则双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e>的概率是________. 解析:由e= >,得b>2a. 当a=1时,b=3,4,5,6四种情况; 当a=2时,b=5,6两种情况,总共有6种情况. 又同时掷两枚骰子,得到的点数(a,b)共有36种情况. 所以所求事件的概率P==. 答案: 高考微点22 古典概型与几何概型 [微要点] 1.谨记古典概型的概率公式 P(A)=. 2.掌握古典概型的两个特点 (1)有限性,即在一次试验中,基本事件的个数是有限的; (2)等可能性,即每个基本事件出现的可能性是相等的. 3.注意两个易误点 (1)在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时,易忽视他们是否是等可能的. (2)概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽视只有当A∩B=?,即A,B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0. [微练习] 1.从集合{1,2,3,…,10}中任取5个数组成集合A,则A中任意两个元素之和不等于11的概率为(  ) A.       B. C. D. 2.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b0成立的概率是________. 6.某同学同时掷两枚骰子,得到点数分别为a,b,则双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e>的概率是________.

    • 2020-05-15
    • 下载4次
    • 161.01KB
  • ID:3-7309944 高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点21 计数原理

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    高考微点21 计数原理 [微要点] 1.求解排列与组合问题的基本原则 特殊优先原则 问题中涉及特殊元素或特殊位置的,求解时优先考虑这些特殊元素或特殊位置 先取后排原则 问题中涉及既要取出元素又需对取出的元素进行排列的,先完整地把需要排列的元素取出,再进行排列 正难则反原则 直接求解困难时,采用间接方法,即从问题的反面思考求解 先分组后 分配原则 在分配问题中,如果被分配的元素多于位置,应先进行分组,再进行分配.平均分成m组时,不管它们的顺序如何都是一种情况,所以分组后要除以A 2.注意三个易误点 (1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是独立的. (2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分,而未完成这件事,步步之间是相关联的. (3)易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关. [微练习] 1.已知方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这六个数字中每次取两个不同的数作为系数A,B的值,则方程表示的不同直线的条数是(  ) A.2    B.12 C.22 D.25 解析:选C 若A=0,则B从1,2,3,5,7中任取一个,均表示直线y=0;同理,当B=0时,表示直线x=0;当A≠0,且B≠0时,能表示5×4=20条不同的直线.故方程Ax+By=0表示的不同直线的条数是1+1+20=22. 2.把5件不同的产品摆成一排,若产品A与产品B相邻且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法种数为(  ) A.36 B.42 C.58 D.64 解析:选A 将A,B捆绑在一起,有A种摆法,再将它们与其他3件产品全排列,有A种摆法,故共有AA=48种摆法,而A,B,C 3件在一起,且A,B相邻,A,C相邻有CAB,BAC两种情况,将这3件与剩下2件全排列,有2×A=12种摆法,故A,B相邻,A,C不相邻的摆法有48-12=36种. 3.(2019·福州质检)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有(  ) A.90种 B.180种 C.270种 D.360种 解析:选B 可分两步:第一步,甲、乙两个展区各安排一个人,有A种不同的安排方案;第二步,剩下两个展区各两个人,有CC种不同的安排方案,根据分步乘法计数原理,可得不同的安排方案的种数为ACC=180. [微要点] 1.二项式定理 (1)定理:(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-r·br+…+Cbn(n∈N *). (2)通项公式:Tr+1=Can-rbr(0≤r≤n). (3)二项式系数的性质: ①C=C; ②C=C+C; ③C+C+…+C=2n; ④C+C+…=C+C+…=2n-1. 2.注意两个易误点 (1)二项式的通项易误认为是第k项,实质上是第k+1项. (2)易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念,注意项的系数是指非字母因数所有部分,包含符号,二项式系数仅指C(k=0,1,…,n). [微练习] 1.在二项式n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式的第4项为(  ) A.7x6   B.-7x C.x D.-x7 解析:选B 由第5项的二项式系数最大可知n=8,则的展开式的通项Tr+1=C()8-rr=rCx,则展开式的第4项为3Cx=-7x. 2.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(  ) A.212 B.211 C.210 D.29 解析:选D ∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C,C,∴C=C,∴n=10.从而有C+C+C+C+…+C=210.又C+C+…+C=C+C+…+C,∴奇数项的二项式系数和为C+C+…+C=29.故选D. 3.(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(  ) A.10 B.20 C.30 D.60 解析:选C 易知Tr+1=C(x2+x)5-ryr,令r=2,则T3=C(x2+x)3y2,对于二项式(x2+x)3,由Tt+1=C(x2)3-t·xt=Cx6-t,令t=1,所以x5y2的系数为CC=30. 4.若n的展开式中含x的项为第6项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则a1+a2+…+an的值为________. 解析:展开式n的通项为Tr+1=C(x2)n-r·r=C(-1)rx2n-3r, 因为含x的项为第6项,所以r=5,2n-3r=1,解得n=8, 令x=1,得a0+a1+…+a8=(1-3)8=28, 又a0=1,所以a1+…+a8=28-1=255. 答案:255 1.二项式(x+1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15,则n=(  ) A.4    B.5 C.6 D.7 解析:选C ∵二项式(x+1)n的展开式中x2的系数为C,∴C=15,即C=15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍去).故选C. 2.某班班会上老师准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙2名学生至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为(  ) A.360 B.520 C.600 D.720 解析:选C 若甲、乙同时被选中,则只需再从剩下的5人中选取2人,有C种选法,因为在安排顺序时,甲、乙不相邻需“插空”,所以安排的方式有AA种,从而此种情况下不同的发言顺序的种数为CAA=120.若甲、乙只有一人被选中,则先从甲、乙中选一人,有C种选法,再从剩下的5人中选取3人,有C种选法,因为在安排顺序时无要求,所以此种情况下不同的发言顺序的种数为CCA=480.综上,不同的发言顺序的种数为120+480=600.故选C. 3.在6的展开式中,含x5项的系数为(  ) A.6 B.-6 C.24 D.-24 解析:选B 由6=C6-C5+C4-…-C+C, 可知只有-C5的展开式中含有x5, 所以6的展开式中含x5项的系数为-CC=-6. 4.在某次大合唱中,要求6名演唱者站一横排,且甲不站左端,乙不站右端,则不同的站法种数为(  ) A.368 B.488 C.486 D.504 解析:选D 法一:以甲的位置分为两类:①甲站右端,有A种;②甲在中间4个位置之一,而乙不在右端,有AAA种,故共有A+AAA=504(种)站法. 法二(间接法):甲在左端的站法有A种,乙在右端的站法有A种,甲在左端且乙在右端的站法有A种,故共有A-2A+A=504(种)站法. 5. 5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为(  ) A.-40 B.-20 C.20 D.40 解析:选D 令x=1,则(1+a)(2-1)5=2,a=1.故原式=5,5的通项Tr+1=C·(2x)5-r(-x-1)r=C(-1)r25-rx5-2r,由5-2r=1得r=2,对应的常数项为80,由5-2r=-1得r=3,对应的常数项为-40,故所求的常数项为40. 6.五种不同的商品a,b,c,d,e在货架上排成一排,其中a,b两种必须排在一起,而c,d两种不能排在一起,则不同的排法共有(  ) A.12种 B.20种 C.24种 D.48种 解析:选C 分三步:①a,b两种必须排在一起有A种方法;②将a,b捆绑在一起作为一个元素与e任意排列有A种方法;③c,d进行插空,有A种方法.综上所述,不同的排法共有AAA=24(种). 7.在(2x+1)2(x-2)3的展开式中,x2的系数等于________. 解析:法一:因为(2x+1)2(x-2)3=(4x2+4x+1)(x3-6x2+12x-8),所以(2x+1)2·(x-2)3的展开式中,x2的系数为4×(-8)+4×12+1×(-6)=10. 法二:(2x+1)2(x-2)3的展开式中含x2的项为C×(2x)2×C×(-2)3+C×2x×C×x×(-2)2+1×C×x2×(-2)=10x2,故答案为10. 答案:10 8.(x2+2) 5的展开式中含x2项的系数为250,则实数m的值为________ 解析:选C 5的展开式的通项为Tr+1=Cx-2(5-r)(-mx)r=C(-m)rx3r-10,由3r-10=2,得r=4,系数为C(-m)4=5m4.因为第二个因式中没有常数项,所以展开式中含x2项的系数为2×5m4=250,求得m=±.故选C. 答案:± 高考微点21 计数原理 [微要点] 1.求解排列与组合问题的基本原则 特殊优先原则 问题中涉及特殊元素或特殊位置的,求解时优先考虑这些特殊元素或特殊位置 先取后排原则 问题中涉及既要取出元素又需对取出的元素进行排列的,先完整地把需要排列的元素取出,再进行排列 正难则反原则 直接求解困难时,采用间接方法,即从问题的反面思考求解 先分组后 分配原则 在分配问题中,如果被分配的元素多于位置,应先进行分组,再进行分配.平均分成m组时,不管它们的顺序如何都是一种情况,所以分组后要除以A 2.注意三个易误点 (1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是独立的. (2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分,而未完成这件事,步步之间是相关联的. (3)易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关. [微练习] 1.已知方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这六个数字中每次取两个不同的数作为系数A,B的值,则方程表示的不同直线的条数是(  ) A.2    B.12 C.22 D.25 2.把5件不同的产品摆成一排,若产品A与产品B相邻且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法种数为(  ) A.36 B.42 C.58 D.64 3.(2019·福州质检)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有(  ) A.90种 B.180种 C.270种 D.360种 [微要点] 1.二项式定理 (1)定理:(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-r·br+…+Cbn(n∈N *). (2)通项公式:Tr+1=Can-rbr(0≤r≤n). (3)二项式系数的性质: ①C=C; ②C=C+C; ③C+C+…+C=2n; ④C+C+…=C+C+…=2n-1. 2.注意两个易误点 (1)二项式的通项易误认为是第k项,实质上是第k+1项. (2)易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念,注意项的系数是指非字母因数所有部分,包含符号,二项式系数仅指C(k=0,1,…,n). [微练习] 1.在二项式n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式的第4项为(  ) A.7x6   B.-7x C.x D.-x7 2.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(  ) A.212 B.211 C.210 D.29 3.(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(  ) A.10 B.20 C.30 D.60 4.若n的展开式中含x的项为第6项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则a1+a2+…+an的值为________. 1.二项式(x+1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15,则n=(  ) A.4    B.5 C.6 D.7 2.某班班会上老师准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙2名学生至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为(  ) A.360 B.520 C.600 D.720 3.在6的展开式中,含x5项的系数为(  ) A.6 B.-6 C.24 D.-24 4.在某次大合唱中,要求6名演唱者站一横排,且甲不站左端,乙不站右端,则不同的站法种数为(  ) A.368 B.488 C.486 D.504 5. 5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为(  ) A.-40 B.-20 C.20 D.40 6.五种不同的商品a,b,c,d,e在货架上排成一排,其中a,b两种必须排在一起,而c,d两种不能排在一起,则不同的排法共有(  ) A.12种 B.20种 C.24种 D.48种 7.在(2x+1)2(x-2)3的展开式中,x2的系数等于________. 8.(x2+2) 5的展开式中含x2项的系数为250,则实数m的值为________

    • 2020-05-15
    • 下载4次
    • 66.36KB
  • ID:3-7309937 高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点20 圆锥曲线的综合问题

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    高考微点20 圆锥曲线的综合问题 [微要点] 1.圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|=|x1-x2| =· = ·|y1-y2|=·. 直线的斜率不存在时:|AB|=|y1-y2|. 2.弦中点问题中的常用结论 圆锥曲线以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表: 圆锥曲线方程 直线斜率 椭圆:+=1(a>b>0) k=- 双曲线:-=1(a>0,b>0) k= 抛物线:y 2=2p x (p>0) k= 其中k=(x1≠x2),(x1,y1),(x2,y2)为弦的端点坐标. 3.注意两个易误点 (1)直线与双曲线相交于一点时,易误认为直线与双曲线相切,事实上不一定相切,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点. (2)直线与抛物线相交于一点时,除直线与抛物线相切外易忽视直线与抛物线的对称轴平行时也相交于一点. [微练习] 1.抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A,B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为(  ) A.y=2x2   B.y2=2x C.x2=2y D.y2=-2x 解析:选B 设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程为y2=2px(p>0),则两式相减可得2p=×(y1+y2)=kAB×2=2,所以p=1, 所以抛物线C的方程为y2=2x. 2.已知经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q,则k的取值范围是(  ) A. B.∪ C.(-,) D.(-∞,-)∪(,+∞) 解析:选B 由题意得,直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程得+(kx+)2=1,整理得x2+2kx+1=0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>,即k的取值范围为∪.故选B. 3.设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为________. 解析:c=5,设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y=(x-5),即4x-3y-20=0,联立直线与双曲线方程,求得yB=-,则S=×(5-3)×=. 答案: 4.(2019·南昌一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的下顶点为A,右顶点为B,离心率e=.抛物线E:y=的焦点为F,P是抛物线E上一点,抛物线E在点P处的切线为l,且l∥AB. (1)求直线l的方程; (2)若l与椭圆C相交于M,N两点,且S△FMN=,求椭圆C的标准方程. 解:(1)因为e2=1-=, 所以=,所以kAB=, 又l∥AB,所以直线l的斜率为. 设P,由y=得y′=. 因为过点P的直线l与抛物线E相切, 所以=,解得t=2, 所以P,所以直线l的方程为x-2y-1=0. (2)由(1)知a=2b,设M(x1,y1),N(x2,y2),由 得2x2-2x+1-4b2=0,则x1+x2=1,x1x2=, 易知Δ=4-8(1-4b2)>0,解得b2>, 所以|x1-x2|==. |MN|= |x1-x2|= , 又l:x-2y-1=0,抛物线焦点为F(0,2), 则点F到直线l的距离d==, 所以S△FMN=|MN|×d=××=,解得b2=4, 所以椭圆C的标准方程为+=1. [微要点] 解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种:几何法和代数法.若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值或取值范围,这就是代数法. [微练习] 1.设M,N是抛物线C:y2=2px(p>0)上任意两点,点E的坐标为(-λ,0)(λ>0),若·的最小值为0,则λ=________. 解析:∵·的最小值为0,∴当点M,N在不同的象限时,·取得最小值0,且此时∠MEN=90°,直线EM,EN均为抛物线的切线,不妨取点M在第一象限内,则直线EM的方程为y=x+λ,联立得x2+(2λ-2p)x+λ2=0,由Δ=(2λ-2p)2-4λ2=0,得λ=. 答案: 2.(2019·长春质检)已知椭圆C的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点E. (1)求椭圆C的方程; (2)过点F1的直线l与椭圆C交于A,B两点(点A位于x轴上方),若=λ,且2≤λ<3,求直线l的斜率k的取值范围. 解:(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0), 由解得 所以椭圆C的方程为+=1. (2)由题意设直线l的方程为y=k(x+1)(k>0), 联立消去x,得(3+4k2)y2-6ky-9k2=0, Δ=(-6k)2-4×(3+4k2)×(-9k2)=144k2+144k4>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=,y1y2=, 又=λ,所以y1=-λy2, 所以=++2=-λ-+2, 即λ+-2=-=. 因为2≤λ<3,所以≤λ+-2<, 即≤<,且k>0,解得00,b>0)的两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.若|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,且与反向,则该双曲线的离心率为(  ) A. B. C. D. 解析:选C 令∠AOF=α,则由题意知tan α=. 在△AOB中,∠AOB=180°-2α, ∴tan∠AOB=-tan 2α=, ∵|OA|,|AB|,|OB|成等差数列, ∴设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d, ∵OA⊥BF,∴(m-d)2+m2=(m+d)2,整理得d=m, ∴-tan 2α=-===, 解得=2或=-(舍去),∴e= =. 3.若直线x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值为________. 解析:设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).由得x2-2mx-m2-2=0(Δ>0),∴x0==m,y0=x0+m=2m,∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,∴m2+(2m)2=5,∴m=±1. 答案:±1 4.(2019·福州质检)已知F是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,A是C的虚轴的一个端点,若C在左支上存在一点P,使得|PA|+|PF|≤4a,则C的离心率的取值范围为________. 解析:依题意,不妨设A(0,b),设左焦点为F1,则|PF|-|PF1|=2a,所以|PA|+|PF|=|PA|+(|PF1|+2a)≥|AF1|+2a=+2a=+2a,当且仅当P在线段AF1上时取等号.因为C的左支上存在一点P,使得|PA|+|PF|≤4a,所以4a≥+2a,整理得,5a2≥2c2,所以C的离心率e=≤,又e>1,所以C的离心率的取值范围为. 答案: 5.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点. (1)若=2,求直线AB的斜率; (2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值. 解:(1)依题意知F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1. 将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x得y2-4my-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以y1+y2=4m,y1y2=-4.① 因为=2, 所以y1=-2y2. ② 联立①②,消去y1,y2,得m=±. 所以直线AB的斜率是±2. (2)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,从而点O与点C到直线AB的距离相等,所以四边形OACB的面积等于2S△AOB. 因为2S△AOB=2··|OF|·|y1-y2| ==4, 所以当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值是4. 6.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且y1y2=-4. (1)求抛物线C的方程; (2)已知点P(-1,k),且△PAB的面积为6,求k的值. 解:(1)由已知得F, 设直线AB的方程为y=k, 联立方程消去x, 得ky2-2py-kp2=0, ∴y1y2=-p2=-4, 从而p=2,抛物线C的方程为y2=4x. (2)由(1)知F(1,0),直线AB的方程为y=k(x-1), 联立方程消去x,得ky2-4y-4k=0, ∴|AB|=·=4. 又P到直线AB的距离d=. 故S△PAB=×|AB|×d=6=6. 解得k=±. 7.(2019·安徽知名示范高中联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且以原点为圆心,椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ+ycos θ-1=0相切(θ为常数). (1)求椭圆C的标准方程; (2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线l与椭圆交于M,N两点,求·的取值范围. 解:(1)由题意,得? 故椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0). ①若直线l的斜率不存在,则直线l⊥x轴,直线l的方程为x=1,不妨记M,N, ∴=,=, 故·=. ②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1), 联立 消去y,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=. 又=(x1+1,y1),=(x2+1,y2), 则·=(x1+1)(x2+1)+y1y2 =(x1+1)(x2+1)+k(x1-1)·k(x2-1) =(1+k2)x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2 =++1+k2 ==-, 由k2≥0,可得·∈. 综上,·的取值范围为. 8.(2019·北京高考)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B. (1)求椭圆M的方程; (2)若k=1,求|AB|的最大值; (3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点Q共线,求k. 解:(1)由题意得解得a=,b=1. 所以椭圆M的方程为+y2=1. (2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 由得4x2+6mx+3m2-3=0, 所以x1+x2=-,x1x2=. 所以|AB|= == = . 当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为. (3)设A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意得x+3y=3,x+3y=3. 直线PA的方程为y=(x+2). 由得 [(x1+2)2+3y]x2+12yx+12y-3(x1+2)2=0. 设C(xC,yC), 所以xC+x1==. 所以xC=-x1=. 所以yC=(xC+2)=. 设D(xD,yD), 同理得xD=,yD=. 记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ, 则kCQ-kDQ=- =4(y1-y2-x1+x2). 因为C,D,Q三点共线, 所以kCQ-kDQ=0. 故y1-y2=x1-x2. 所以直线l的斜率k==1. 高考微点20 圆锥曲线的综合问题 [微要点] 1.圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|=|x1-x2| =· = ·|y1-y2|=·. 直线的斜率不存在时:|AB|=|y1-y2|. 2.弦中点问题中的常用结论 圆锥曲线以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表: 圆锥曲线方程 直线斜率 椭圆:+=1(a>b>0) k=- 双曲线:-=1(a>0,b>0) k= 抛物线:y 2=2p x (p>0) k= 其中k=(x1≠x2),(x1,y1),(x2,y2)为弦的端点坐标. 3.注意两个易误点 (1)直线与双曲线相交于一点时,易误认为直线与双曲线相切,事实上不一定相切,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点. (2)直线与抛物线相交于一点时,除直线与抛物线相切外易忽视直线与抛物线的对称轴平行时也相交于一点. [微练习] 1.抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A,B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为(  ) A.y=2x2   B.y2=2x C.x2=2y D.y2=-2x 2.已知经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q,则k的取值范围是(  ) A. B.∪ C.(-,) D.(-∞,-)∪(,+∞) 3.设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为________. 4.(2019·南昌一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的下顶点为A,右顶点为B,离心率e=.抛物线E:y=的焦点为F,P是抛物线E上一点,抛物线E在点P处的切线为l,且l∥AB. (1)求直线l的方程; (2)若l与椭圆C相交于M,N两点,且S△FMN=,求椭圆C的标准方程. [微要点] 解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种:几何法和代数法.若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值或取值范围,这就是代数法. [微练习] 1.设M,N是抛物线C:y2=2px(p>0)上任意两点,点E的坐标为(-λ,0)(λ>0),若·的最小值为0,则λ=________. 2.(2019·长春质检)已知椭圆C的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点E. (1)求椭圆C的方程; (2)过点F1的直线l与椭圆C交于A,B两点(点A位于x轴上方),若=λ,且2≤λ<3,求直线l的斜率k的取值范围. 1.直线l与抛物线C:y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率k1,k2满足k1k2=,则直线l过定点(  ) A.(-3,0) B.(0,-3) C.(3,0) D.(0,3) 2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.若|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,且与反向,则该双曲线的离心率为(  ) A. B. C. D. 3.若直线x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值为________. 4.(2019·福州质检)已知F是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,A是C的虚轴的一个端点,若C在左支上存在一点P,使得|PA|+|PF|≤4a,则C的离心率的取值范围为________. 5.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点. (1)若=2,求直线AB的斜率; (2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值. 6.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且y1y2=-4. (1)求抛物线C的方程; (2)已知点P(-1,k),且△PAB的面积为6,求k的值. 7.(2019·安徽知名示范高中联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且以原点为圆心,椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ+ycos θ-1=0相切(θ为常数). (1)求椭圆C的标准方程; (2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线l与椭圆交于M,N两点,求·的取值范围. 8.(2019·北京高考)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B. (1)求椭圆M的方程; (2)若k=1,求|AB|的最大值; (3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点Q共线,求k.

    • 2020-05-15
    • 下载5次
    • 94.42KB
  • ID:3-7309931 高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点19 椭圆、双曲线、抛物线

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    高考微点19 椭圆、双曲线、抛物线 [微要点] 1.牢记圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|); (3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于点M. 2.注意四个易误点 (1)椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件,当2a=|F1F2|其轨迹为线段F1F2,当2a<|F1F2|轨迹不存在. (2)双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件.若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a>|F1F2|,则轨迹不存在. (3)注意区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆中的a,b,c大小关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2. (4)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件,当定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线. [微练习] 1.已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,|AB|=8,则|AF2|+|BF2|=(  ) A.2    B.10 C.12 D.14 解析:选C 由题意,长半轴长a=5,由椭圆定义知: |AB|+|AF2|+|BF2|=4a=20. ∵|AB|=8,∴|AF2|+|BF2|=20-8=12. 2.若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为(  ) A.(0,0) B. C.(1,) D.(2,2) 解析:选D 过点M作准线的垂线,垂足是N,则|MF|+|MA|=|MN|+|MA|,当A,M,N三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值,此时M(2,2). 3.若F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为(  ) A.7 B. C. D. 解析:选C 由题意得a=3,b=,c=, ∴|F1F2|=2,|AF1|+|AF2|=6. ∵|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos 45° =|AF1|2-4|AF1|+8, ∴(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8. 解得|AF1|=. ∴△AF1F2的面积S=××2×=. 4.已知双曲线C:x2-=1的右焦点为F,P是双曲线C的左支上一点,M(0,2),则△PFM的周长的最小值为________. 解析:设F1为双曲线的左焦点.依题意,c=2,a=1,所以|MF|=2,|PM|+|PF|=|PM|+|PF1|+2a,当M,P,F1三点共线时,|PM|+|PF1|最小,|MF1|=2,故周长的最小值为2+2+2=2+4. 答案:2+4 [微要点] 1.圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆:+=1(a>b>0)(焦点在x轴上)或+=1(a>b>0)(焦点在y轴上); (2)双曲线:-=1(a>0,b>0)(焦点在x轴上)或-=1(a>0,b>0)(焦点在y轴上); (3)抛物线:y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py.(p>0) 2.掌握双曲线方程的常见设法 (1)与双曲线-=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线可设为-=λ(λ≠0); (2)若双曲线的渐近线方程为y=±x,则可设为-=λ(λ≠0); (3)若双曲线过两个已知点,则可设为mx2+ny2=1(mn<0). 3.注意三个易误点 (1)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置,而直接设方程为+=1(a>b>0). (2)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系.当焦点在x轴上,渐近线斜率为±,当焦点在y轴上,渐近线斜率为±. (3)抛物线标准方程中的参数p,易忽视只有p>0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离,否则无几何意义. [微练习] 1.点M(1,1)到抛物线y=ax2准线的距离为2,则a的值为(  ) A. B.- C.或- D.-或 解析:选C 抛物线y=ax2化为x2=y,它的准线方程为y=-,点M(1,1)到抛物线y=ax2准线的距离为2,可得=2,解得a=或-. 2.若中心在坐标原点的椭圆的长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是(2,0),则椭圆的标准方程为(  ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:选D 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),依题意得,==2?a=2b,∵c=2,c2=a2-b2,∴(2)2=(2b)2-b2?b2=20,得a2=4b2=80,故所求椭圆的标准方程为+=1. 3.过点(2,-2),且与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程是(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:选A 设与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为-y2=λ(λ≠0).因为其过点(2,-2),所以λ=-2.所以所求双曲线方程为-=1.故选A. [微要点] 1.椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系 (1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e== ; (2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e== . 2.圆锥曲线中常用的结论 (1)椭圆 ①椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为,通径是最短的焦点弦. ②P是椭圆上一点,F为椭圆的焦点,则|PF|∈[a-c,a+c]. ③椭圆的焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形. 如图所示,设∠F1PF2=θ. a.当P为短轴端点时,θ最大. b.S△PF1F2=|PF1|·|PF2|·sin θ=c|y0|,当|y0|=b,即P为短轴端点时,S△PF1F2取最大值,最大值为bc. (2)双曲线 ①双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. ②若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a. ③同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a. (3)抛物线 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则①x1x2=,y1y2=-p2;②+=. [微练习] 1.若直线AB与抛物线y2=4x交于A,B两点,且AB⊥x轴,|AB|=4,则抛物线的焦点到直线AB的距离为(  ) A.1 B.2 C.3 D.5 解析:选A 由|AB|=4及AB⊥x轴,不妨设点A的纵坐标为2,代入y2=4x得点A的横坐标为2,从而直线AB的方程为x=2.又y2=4x的焦点为(1,0),所以抛物线的焦点到直线AB的距离为2-1=1,故选A. 2.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别是F1,F2,点P是椭圆上任意一点,则·的取值范围是(  ) A.[-1,1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[-1,2] 解析:选C 由椭圆方程得点F1(-1,0),F2(1,0),设P(x,y),所以=(-1-x,-y),=(1-x,-y),则·=x2+y2-1=∈[0,1]. 3.若圆(x-)2+(y-1)2=3与双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线相切,则此双曲线的离心率为(  ) A. B. C.2 D. 解析:选A 圆(x-)2+(y-1)2=3的圆心为(,1),半径为.由双曲线的渐近线bx±ay=0与圆相切,可得圆心到渐近线的距离为=或=(不合题意,舍去),解得a=b.∴c2=a2+b2=a2,∴c=a,∴e==. 4.已知双曲线C1:-=1,双曲线C2:-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2.若△OMF2的面积为16,且双曲线C1,C2的离心率相同,则双曲线C2的实轴长为(  ) A.4 B.8 C.16 D.32 解析:选C 双曲线C1:-=1的离心率为e==,设F2(c,0),双曲线C2一条渐近线方程为y=x,可得|F2M|===b,即有|OM|==a,由△OMF2的面积为16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且=,解得a=8,即双曲线C2的实轴长为16. 1.若抛物线的准线方程是x=-7,则抛物线的标准方程是(  ) A.y2=-28x    B.y2=28x C.y2=-14x D.y2=14x 解析:选B 设抛物线的标准方程是y2=2px(p>0),由准线方程x=-7,得焦点为(7,0).所以=7,即p=14.所以抛物线的标准方程是y2=28x. 2.已知椭圆上的点到椭圆中心的最大距离为5,焦点到中心的距离为3,则椭圆的标准方程是(  ) A.+=1或+=1 B.+=1或+=1 C.+=1或+=1 D.无法确定 解析:选C 由题意知a=5,c=3,所以b2=a2-c2=16,所以椭圆的标准方程为+=1或+=1. 3.抛物线y=上一点P到焦点的距离为3,则点P到x轴的距离为(  ) A.1 B.2 C. D. 解析:选B 设P(xP,yP),由题意知,x2=4y,所以抛物线的准线方程为y=-1.由抛物线的定义,得yP+1=3,所以yP=2,所以点P到x轴的距离为2,故选B. 4.若mn<0,则方程mx2-my2=n所表示的曲线是(  ) A.焦点在x轴上的等轴双曲线 B.圆 C.焦点在y轴上的等轴双曲线 D.等轴双曲线,焦点位置依m,n的符号而定 解析:选C 方程mx2-my2=n可化为-=1,又mn<0,故方程表示焦点在y轴上的等轴双曲线. 5.已知F1,F2为双曲线C:-=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1F2P=(  ) A. B. C. D.- 解析:选D 由题意可知,a=4,b=3,∴c=5,设|PF1|=2x,|PF2|=x,则|PF1|-|PF2|=x=2a=8,故|PF1|=16,|PF2|=8,又|F1F2|=10,利用余弦定理可得cos∠F1F2P==-. 6.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(,2),过点(0,-2)的直线l与双曲线C的一条渐近线平行,且这两条平行线间的距离为,则双曲线C的实轴长为(  ) A.2 B.2 C.4 D.4 解析:选A 双曲线的渐近线方程为y=±x,则点(0,-2)到渐近线bx±ay=0的距离d===,则c=3a.又c2=a2+b2,所以b=2a.由双曲线C过点(,2),得-=1,解得a=1.故双曲线C的实轴长为2a=2.故选A. 7.已知椭圆+=1上一点P,F1,F2是椭圆的左、右焦点,△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有(  ) A.3个 B.4个 C.6个 D.8个 解析:选C 当∠PF1F2为直角时,根据椭圆的对称性,这样的点P有2个;同理当∠PF2F1为直角时,这样的点P有2个;由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大,而这个角恰好是直角,故这样的点P也有2个.故符合要求的点P有6个. 8.已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,其中一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在双曲线上,则·=(  ) A.-12 B.-2 C.0 D.4 解析:选C 由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线,所以双曲线方程是x2-y2=2,于是F1(-2,0)和F2(2,0),且P(,1)或P(,-1).不妨设P(,1),则=(-2-,-1),=(2-,-1).所以·=(-2-,-1)·(2-,-1)=-(2+)(2-)+1=0. 9.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在y轴上.若线段FA的中点B在抛物线上,且点B到抛物线的准线的距离为,则点A的坐标为(  ) A.(2,0)或(-2,0) B.(0,-2) C.(0,2)或(0,-2) D.(0,2) 解析:选C 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,设A(0,y),则线段AF的中点B.∵点B在抛物线上,∴=2p·,∴y=±p.点B到抛物线的准线的距离为+=,解得p=.∴y=±2,∴点A的坐标为(0,2)或(0,-2). 10.过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M与双曲线C的焦点不重合,点M关于F1,F2的对称点分别为A,B,线段MN的中点在双曲线的右支上.若|AN|-|BN|=12,则a=(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选A 设线段MN的中点为点P(点P在双曲线的右支上),如图,连接PF1,PF2.∵F1是MA的中点,P是MN的中点,∴线段F1P是△MAN的中位线,∴|PF1|=|AN|.同理|PF2|=|BN|.∴|AN|-|BN|=2(|PF1|-|PF2|).由点P在双曲线的右支上可知|PF1|-|PF2|=2a,∴|AN|-|BN|=4a=12,∴a=3.故选A. 12.(2019·洛阳第一次统考)已知F是抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点,曲线C2是以F为圆心,为半径的圆,直线4x-3y-2p=0与曲线C1,C2从上到下依次相交于点A,B,C,D,则=(  ) A.16 B.4 C. D. 解析:选A 因为直线4x-3y-2p=0过C1的焦点F(C2的圆心),故|BF|=|CF|=, 所以=. 由抛物线的定义得|AF|-=xA,|DF|-=xD. 联立消去y,整理得8x2-17px+2p2=0,即(8x-p)(x-2p)=0,可得xA=2p,xD=, 故===16. 13.若椭圆+y2=1与双曲线-=1(a>0)具有共同的焦点,则实数a=________. 解析:由题意知椭圆+y2=1的半焦距c=,所以在双曲线中,a2+2=3,解得a=±1.又a>0,所以a=1. 答案:1 14.已知△ABC的顶点A(-3,0)和顶点B(3,0),顶点C在椭圆+=1上,则=________. 解析:由椭圆方程知a=5,b=4,∴c==3, ∴A,B为椭圆的焦点. ∵点C在椭圆上, ∴|AC|+|BC|=2a=10,|AB|=2c=6. ∴===3. 答案:3 15.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,点B(0,b),且·=a2,则双曲线C的离心率为________. 解析:设F(c,0),又A(-a,0),B(0,b),由·=a2,得(-a,-b)·(c,-b)=a2,所以b2-ac=a2,即c2-2a2-ac=0,所以e2-e-2=0,解得e=2或e=-1(舍去). 故双曲线C的离心率为2. 答案:2 16.在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点.若点N是点C关于坐标原点O的对称点,则△ANB面积的最小值是________. 解析:由题意知,点N的坐标为N(0,-p).设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+p.由得x2-2pkx-2p2=0,则x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.所以S△ANB=S△BCN+S△ACN=×2p|x1-x2|=p|x1-x2|=p=p=2p2,所以当k=0时,△ANB的面积取得最小值,为2p2. 答案:2p2 高考微点19 椭圆、双曲线、抛物线 [微要点] 1.牢记圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|); (3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于点M. 2.注意四个易误点 (1)椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件,当2a=|F1F2|其轨迹为线段F1F2,当2a<|F1F2|轨迹不存在. (2)双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件.若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a>|F1F2|,则轨迹不存在. (3)注意区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆中的a,b,c大小关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2. (4)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件,当定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线. [微练习] 1.已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,|AB|=8,则|AF2|+|BF2|=(  ) A.2    B.10 C.12 D.14 2.若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为(  ) A.(0,0) B. C.(1,) D.(2,2) 3.若F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为(  ) A.7 B. C. D. 4.已知双曲线C:x2-=1的右焦点为F,P是双曲线C的左支上一点,M(0,2),则△PFM的周长的最小值为________. [微要点] 1.圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆:+=1(a>b>0)(焦点在x轴上)或+=1(a>b>0)(焦点在y轴上); (2)双曲线:-=1(a>0,b>0)(焦点在x轴上)或-=1(a>0,b>0)(焦点在y轴上); (3)抛物线:y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py.(p>0) 2.掌握双曲线方程的常见设法 (1)与双曲线-=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线可设为-=λ(λ≠0); (2)若双曲线的渐近线方程为y=±x,则可设为-=λ(λ≠0); (3)若双曲线过两个已知点,则可设为mx2+ny2=1(mn<0). 3.注意三个易误点 (1)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置,而直接设方程为+=1(a>b>0). (2)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系.当焦点在x轴上,渐近线斜率为±,当焦点在y轴上,渐近线斜率为±. (3)抛物线标准方程中的参数p,易忽视只有p>0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离,否则无几何意义. [微练习] 1.点M(1,1)到抛物线y=ax2准线的距离为2,则a的值为(  ) A. B.- C.或- D.-或 2.若中心在坐标原点的椭圆的长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是(2,0),则椭圆的标准方程为(  ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 3.过点(2,-2),且与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程是(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 [微要点] 1.椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系 (1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e== ; (2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e== . 2.圆锥曲线中常用的结论 (1)椭圆 ①椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为,通径是最短的焦点弦. ②P是椭圆上一点,F为椭圆的焦点,则|PF|∈[a-c,a+c]. ③椭圆的焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形. 如图所示,设∠F1PF2=θ. a.当P为短轴端点时,θ最大. b.S△PF1F2=|PF1|·|PF2|·sin θ=c|y0|,当|y0|=b,即P为短轴端点时,S△PF1F2取最大值,最大值为bc. (2)双曲线 ①双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. ②若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a. ③同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a. (3)抛物线 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则①x1x2=,y1y2=-p2;②+=. [微练习] 1.若直线AB与抛物线y2=4x交于A,B两点,且AB⊥x轴,|AB|=4,则抛物线的焦点到直线AB的距离为(  ) A.1 B.2 C.3 D.5 2.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别是F1,F2,点P是椭圆上任意一点,则·的取值范围是(  ) A.[-1,1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[-1,2] 3.若圆(x-)2+(y-1)2=3与双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线相切,则此双曲线的离心率为(  ) A. B. C.2 D. 4.已知双曲线C1:-=1,双曲线C2:-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2.若△OMF2的面积为16,且双曲线C1,C2的离心率相同,则双曲线C2的实轴长为(  ) A.4 B.8 C.16 D.32 1.若抛物线的准线方程是x=-7,则抛物线的标准方程是(  ) A.y2=-28x    B.y2=28x C.y2=-14x D.y2=14x 2.已知椭圆上的点到椭圆中心的最大距离为5,焦点到中心的距离为3,则椭圆的标准方程是(  ) A.+=1或+=1 B.+=1或+=1 C.+=1或+=1 D.无法确定 3.抛物线y=上一点P到焦点的距离为3,则点P到x轴的距离为(  ) A.1 B.2 C. D. 4.若mn<0,则方程mx2-my2=n所表示的曲线是(  ) A.焦点在x轴上的等轴双曲线 B.圆 C.焦点在y轴上的等轴双曲线 D.等轴双曲线,焦点位置依m,n的符号而定 5.已知F1,F2为双曲线C:-=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1F2P=(  ) A. B. C. D.- 6.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(,2),过点(0,-2)的直线l与双曲线C的一条渐近线平行,且这两条平行线间的距离为,则双曲线C的实轴长为(  ) A.2 B.2 C.4 D.4 7.已知椭圆+=1上一点P,F1,F2是椭圆的左、右焦点,△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有(  ) A.3个 B.4个 C.6个 D.8个 8.已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,其中一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在双曲线上,则·=(  ) A.-12 B.-2 C.0 D.4 9.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在y轴上.若线段FA的中点B在抛物线上,且点B到抛物线的准线的距离为,则点A的坐标为(  ) A.(2,0)或(-2,0) B.(0,-2) C.(0,2)或(0,-2) D.(0,2) 10.过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M与双曲线C的焦点不重合,点M关于F1,F2的对称点分别为A,B,线段MN的中点在双曲线的右支上.若|AN|-|BN|=12,则a=(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 12.(2019·洛阳第一次统考)已知F是抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点,曲线C2是以F为圆心,为半径的圆,直线4x-3y-2p=0与曲线C1,C2从上到下依次相交于点A,B,C,D,则=(  ) A.16 B.4 C. D. 13.若椭圆+y2=1与双曲线-=1(a>0)具有共同的焦点,则实数a=________. 14.已知△ABC的顶点A(-3,0)和顶点B(3,0),顶点C在椭圆+=1上,则=________. 15.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,点B(0,b),且·=a2,则双曲线C的离心率为________. 16.在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点.若点N是点C关于坐标原点O的对称点,则△ANB面积的最小值是________.

    • 2020-05-15
    • 下载5次
    • 153.39KB
  • ID:3-7309927 高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点18 直线和圆

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    高考微点18 直线和圆 [微要点] 1.谨记两个距离公式 (1)点(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=(A2+B2≠0). (2)两平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d=(A2+B2≠0). 2.掌握常见的直线系方程 (1)过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可以表示为y-y0=k(x-x0)和x=x0. (2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C). (3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+λ=0. (4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0)和A2x+B2y+C2=0. 3.注意三个易误点 (1)用直线的点斜式求方程时,在斜率k不明确的情况下,注意分k存在与不存在讨论,否则会造成失误. (2)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式. (3)运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x,y的系数分别相等这一条件盲目套用公式而导致出错. [微练习] 1.若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+1=0垂直,则l的方程为(  ) A.3x+2y-1=0   B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 解析:选A 由题可得直线l的斜率为-,则直线l的方程为y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0. 2.若两平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是,则m+n=(  ) A.0 B.1 C.-2 D.-1 解析:选C 因为l1,l2平行,所以1×n=2×(-2),解得n=-4,即直线l2:x-2y-3=0.又l1,l2之间的距离是,所以=,解得m=2或m=-8(舍去),所以m+n=-2. 3.若直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为(  ) A.2x+3y-12=0 B.2x-3y-12=0 C.2x-3y+12=0 D.2x+3y+12=0 解析:选D 由ax+y+3a-1=0, 可得a(x+3)+(y-1)=0, 令可得x=-3,y=1, ∴M(-3,1),点M不在直线2x+3y-6=0上, 设直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为2x+3y+c=0(c≠-6), 则=, 解得c=12或c=-6(舍去), ∴所求直线方程为2x+3y+12=0. [微要点] 1.记牢圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b),半径为r. (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).圆心为,半径为r=. 2.注意一个易误点 在圆的一般方程中:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形. [微练习] 1.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选D 因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,所以2+(y-a)2=-a2-3a,圆心坐标为,同时满足-a2-3a>0,解得-40,则该圆的圆心在第四象限. 2.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(  ) A. B. C. D. 解析:选B 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则解得 即圆的方程为x2+y2-2x-y+1=0. 所以△ABC外接圆的圆心为,故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为 =. 3.一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为2,则该圆的方程为_________. 解析:法一:∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上, ∴设所求圆的圆心为(3a,a), 又所求圆与y轴相切,∴半径r=3|a|, 又所求圆在直线y=x上截得的弦长为2, 圆心(3a,a)到直线y=x的距离d==|a|, ∴d2+()2=r2,即2a2+7=9a2,∴a=±1. 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9. 法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 则圆心(a,b)到直线y=x的距离为, ∴r2=+7, 即2r2=(a-b)2+14.① 由于所求圆与y轴相切, ∴r2=a2,② 又∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上, ∴a-3b=0,③ 联立①②③,解得或 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9. 答案:(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9 [微要点] 1.直线与圆的位置关系的判定 几何法 把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较:dr?相离 代数法 将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系:Δ>0?相交;Δ=0?相切;Δ<0?相离 2.求直线被圆截得弦长的方法 几何法 如图所示,设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:|AB|=2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(x A,y A),B(x B,y B)两点,则|AB|=·= ·| y A-y B|(其中k≠0). 特别地,当k=0时,|AB|=| x A-x B|;当斜率不存在时,|AB|=| y A-y B| [微练习] 1.圆x2+y2-2x+4y=0与2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为(  ) A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能 解析:选C 2tx-y-2-2t=0即2t(x-1)=y+2,过定点(1,-2),又点(1,-2)在圆x2+y2-2x+4y=0内,所以圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)相交.故选C. 2.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是(  ) A.x+y-=0 B.x+y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+=0 解析:选A 与直线y=x+1垂直的直线方程可设为x+y+b=0,因为x+y+b=0与圆x2+y2=1相切,所以=1,故b=±.因为直线与圆相切于第一象限,故结合图形知b=-,所以所求直线方程为x+y-=0. 3.已知点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=1上运动,则的最大值是(  ) A. B.- C. D.- 解析:选A 设==k,则k表示点P(x,y)与点(0,0)的连线,即kx-y=0的斜率.当直线kx-y=0与圆相切时,k分别取得最大值与最小值.圆心坐标为(2,0),由=1,解得k=±,所以的最大值为. 4.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=(  ) A.2 B.4 C.6 D.2 解析:选C 由题意得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,所以圆C的圆心为(2,1),半径为2.因为直线l为圆C的对称轴,所以圆心在直线l上,则2+a-1=0,解得a=-1,所以|AB|2=|AC|2-|BC|2=(-4-2)2+(-1-1)2-4=36,解得|AB|=6. 5.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=________. 解析:由直线l:mx+y+3m-=0知其过定点(-3,),圆心O到直线l的距离为d=.由|AB|=2得2+()2=12,解得m=-.又直线l 的斜率为-m=,所以直线l的倾斜角α=.画出符合题意的图形如图所示,过点C作CE⊥BD,则∠DCE=, |CE|=|AB|.在Rt△CDE中,可得|CD|===2×=4. 答案:4 1.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是(  ) A.x-y+1=0   B.x-y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+1=0 解析:选A 由题意可设直线方程为y=x+b,又直线过圆心C(-1,0),所以-1+b=0,解得b=1.则所求直线方程为x-y+1=0. 2.若直线Ax+By+C=0过第一、二、三象限,则(  ) A.A·B<0,B·C<0 B.A·B>0,B·C>0 C.A=0,B·C<0 D.C=0,A·B>0 解析:选A 由题知,B不为0,直线Ax+By+C=0可化为y=-x-,所以->0,->0,即A·B<0,B·C<0.故选A. 3.(2019·福州质检)“b∈(-1,3)”是“对于任意实数k,直线l:y=kx+b与圆C:x2+(y-1)2=4恒有公共点”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A 圆C:x2+(y-1)2=4与y轴的交点坐标为(0,-1)和(0,3),对于任意实数k,直线l与圆C恒有公共点?b∈[-1,3].因为(-1,3)?[-1,3],所以“b∈(-1,3)”是“对于任意实数k,直线l与圆C恒有公共点”的充分不必要条件.故选A. 4.已知A,B为圆C:(x-m)2+(y-n)2=9(m,n∈R)上两个不同的点,C为圆心,且满足|+|=2,则|AB|=(  ) A.2 B.4 C. D.2 解析:选B ∵C为圆心,A,B在圆上,∴取AB的中点为O,连接CO,有CO⊥AB,且+=2, ∴||=,又圆C的半径R=3, ∴|AB|=2=2×=4. 5.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0截得的弦长为(  ) A. B.2 C. D.2 解析:选D 由已知得直线方程为y=x,圆的标准方程为x2+(y-2)2=4,则圆心(0,2)到直线的距离d==1.由垂径定理知,所求弦长为2=2.故选D. 6.(2019·湘东五校联考)圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于2的点有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:选B 圆(x-3)2+(y-3)2=9的圆心为(3,3),半径为3,圆心到直线3x+4y-11=0的距离d==2,∴圆上到直线3x+4y-11=0的距离为2的点有2个. 7.已知圆的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且与直线3x+4y+4=0相切,则圆的方程是(  ) A.x2+y2-4x=0 B.x2+y2-2x-3=0 C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2+4x=0 解析:选A 设圆心坐标为(a,0)(a>0),由直线3x+4y+4=0与圆相切,则d==2,解得a=2或a=-(舍去),故所求圆的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0. 8.已知点P在圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是(  ) A.5 B.1 C.3-5 D.3+5 解析:选C 圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0,即(x-4)2+(y-2)2=9,圆心为C1(4,2),半径r1=3;圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0,即(x+2)2+(y+1)2=4,圆心为C2(-2,-1),半径r2=2,圆心距d==3>3+2=5,两圆相离,所以|PQ|的最小值为|C1C2|-(r1+r2)=3-5. 9.已知直线x+7y=10把圆x2+y2=4分成两段弧,这两段弧长之差的绝对值等于(  ) A. B. C.π D.2π 解析:选D 圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2,设直线x+7y=10与圆x2+y2=4交于M,N两点,则圆心O到直线x+7y=10的距离d==,则|MN|=2=2.在△MNO中,|OM|2+|ON|2=2r2=8=|MN|2,则∠MON=90°,这两段弧长之差的绝对值==2π. 10.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,0),B(2,0),C(0,2),△ABC外接圆的圆心为O,M为圆O1:(x-a)2+(y+)2=4上的动点,若|OM|的最大值为6,则a的值为(  ) A.-3或1 B.-1或3 C.-3或-1 D.1或3 解析:选B 由题意可知,△ABC为直角三角形,∠BAC=90°,则△ABC外接圆的圆心就是线段BC的中点,所以圆心O(1,).圆O1:(x-a)2+(y+)2=4的圆心O1(a,-),|OM|max=|O1O|+2=+2=6,解得a=3或a=-1. 11.已知过原点的直线l1与直线l2:x+3y+1=0垂直,圆C的方程为x2+y2-2ax-2ay=1-2a2(a>0),若直线l1与圆C交于M,N两点,则当△CMN的面积最大时,圆心C的坐标为(  ) A. B. C. D.(1,1) 解析:选A 由题意,直线l1的方程为3x-y=0,圆C的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=1,圆心坐标为(a,a),半径为1,而S△CMN=×CM×CN×sin∠MCN=sin∠MCN,则当∠MCN=90°,即CM⊥CN时,△CMN的面积最大,此时圆心C到直线l1的距离为=,∵a>0,∴a=,∴圆心C的坐标为. 12.已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4),若直线l上存在点P使得|PA|+|PB|最小,则点P的坐标为(  ) A.(-2,-3) B.(-2,3) C.(2,3) D.(-2,2) 解析:选B 根据题意画出大致图形如图所示.设点A关于直线x-2y+8=0的对称点A1(m,n), 则有 解得故A1(-2,8).此时直线A1B的方程为x=-2.所以当点P是直线A1B与直线x-2y+8=0的交点时,|PA|+|PB|最小.将x=-2代入x-2y+8=0,得y=3,故点P的坐标为(-2,3). 13.若直线l过点(m,3)和(3,2),且在x轴上的截距是1,则实数m=________. 解析:由在x轴上的截距是1,得m≠3,则直线l的方程为=.当y=0时,则x=6-2m+3=1,故m=4. 答案:4 14.(2019·南宁摸底)已知圆(x-a)2+y2=4截直线x-y-4=0所得的弦的长度为2,则a=________. 解析:由题意知,圆心为(a,0),半径为2,圆心到直线y=x-4的距离为.因为弦长为2,所以=,解得a=2或a=6. 答案:2或6 15.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________. 解析:易求定点A(0,0),B(1,3).当P与A和B均不重合时,因为P为直线x+my=0与mx-y-m+3=0的交点,且易知两直线垂直,则PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立),当P与A或B重合时,|PA|·|PB|=0,故|PA|·|PB|的最大值是5. 答案:5 16.已知A,B是圆O1:x2+y2-2x=0与圆O2:x2+y2+2x-4y=0的公共点,则△O1AB与△O2AB的面积的比值为________. 解析:两个圆的方程相减,得4x-4y=0,即x-y=0,所以直线AB的方程为x-y=0.圆O1的方程化为(x-1)2+y2=1,所以圆心O1(1,0),O1到直线AB的距离d1==.圆O2的方程化为(x+1)2+(y-2)2=5,所以圆心O2(-1,2),O2到直线AB的距离d2==.所以===. 答案: 高考微点18 直线和圆 [微要点] 1.谨记两个距离公式 (1)点(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=(A2+B2≠0). (2)两平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d=(A2+B2≠0). 2.掌握常见的直线系方程 (1)过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可以表示为y-y0=k(x-x0)和x=x0. (2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C). (3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+λ=0. (4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0)和A2x+B2y+C2=0. 3.注意三个易误点 (1)用直线的点斜式求方程时,在斜率k不明确的情况下,注意分k存在与不存在讨论,否则会造成失误. (2)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式. (3)运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x,y的系数分别相等这一条件盲目套用公式而导致出错. [微练习] 1.若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+1=0垂直,则l的方程为(  ) A.3x+2y-1=0   B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 2.若两平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是,则m+n=(  ) A.0 B.1 C.-2 D.-1 3.若直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为(  ) A.2x+3y-12=0 B.2x-3y-12=0 C.2x-3y+12=0 D.2x+3y+12=0 [微要点] 1.记牢圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b),半径为r. (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).圆心为,半径为r=. 2.注意一个易误点 在圆的一般方程中:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形. [微练习] 1.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(  ) A. B. C. D. 3.一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为2,则该圆的方程为_________. [微要点] 1.直线与圆的位置关系的判定 几何法 把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较:dr?相离 代数法 将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系:Δ>0?相交;Δ=0?相切;Δ<0?相离 2.求直线被圆截得弦长的方法 几何法 如图所示,设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:|AB|=2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(x A,y A),B(x B,y B)两点,则|AB|=·= ·| y A-y B|(其中k≠0). 特别地,当k=0时,|AB|=| x A-x B|;当斜率不存在时,|AB|=| y A-y B| [微练习] 1.圆x2+y2-2x+4y=0与2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为(  ) A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能 2.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是(  ) A.x+y-=0 B.x+y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+=0 3.已知点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=1上运动,则的最大值是(  ) A. B.- C. D.- 4.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=(  ) A.2 B.4 C.6 D.2 5.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=________. 1.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是(  ) A.x-y+1=0   B.x-y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+1=0 2.若直线Ax+By+C=0过第一、二、三象限,则(  ) A.A·B<0,B·C<0 B.A·B>0,B·C>0 C.A=0,B·C<0 D.C=0,A·B>0 3.(2019·福州质检)“b∈(-1,3)”是“对于任意实数k,直线l:y=kx+b与圆C:x2+(y-1)2=4恒有公共点”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知A,B为圆C:(x-m)2+(y-n)2=9(m,n∈R)上两个不同的点,C为圆心,且满足|+|=2,则|AB|=(  ) A.2 B.4 C. D.2 5.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0截得的弦长为(  ) A. B.2 C. D.2 6.(2019·湘东五校联考)圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于2的点有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.已知圆的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且与直线3x+4y+4=0相切,则圆的方程是(  ) A.x2+y2-4x=0 B.x2+y2-2x-3=0 C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2+4x=0 8.已知点P在圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是(  ) A.5 B.1 C.3-5 D.3+5 9.已知直线x+7y=10把圆x2+y2=4分成两段弧,这两段弧长之差的绝对值等于(  ) A. B. C.π D.2π 10.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,0),B(2,0),C(0,2),△ABC外接圆的圆心为O,M为圆O1:(x-a)2+(y+)2=4上的动点,若|OM|的最大值为6,则a的值为(  ) A.-3或1 B.-1或3 C.-3或-1 D.1或3 11.已知过原点的直线l1与直线l2:x+3y+1=0垂直,圆C的方程为x2+y2-2ax-2ay=1-2a2(a>0),若直线l1与圆C交于M,N两点,则当△CMN的面积最大时,圆心C的坐标为(  ) A. B. C. D.(1,1) 12.已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4),若直线l上存在点P使得|PA|+|PB|最小,则点P的坐标为(  ) A.(-2,-3) B.(-2,3) C.(2,3) D.(-2,2) 13.若直线l过点(m,3)和(3,2),且在x轴上的截距是1,则实数m=________. 14.(2019·南宁摸底)已知圆(x-a)2+y2=4截直线x-y-4=0所得的弦的长度为2,则a=________. 15.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________. 16.已知A,B是圆O1:x2+y2-2x=0与圆O2:x2+y2+2x-4y=0的公共点,则△O1AB与△O2AB的面积的比值为________.

    • 2020-05-15
    • 下载4次
    • 121.61KB
  • ID:3-7309913 高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点17 空间向量与立体几何

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    高考微点17 空间向量与立体几何 1.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2?n1=λn2 l1⊥l2 n1⊥n2?n1·n2=0 直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m l∥α n⊥m?m·n=0 l⊥α n∥m?n=λm 平面α,β的法向量分别为n,m α∥β n∥m?n=λm α⊥β n⊥m?n·m=0 2.空间角与向量夹角的关系 线线夹角 当0≤〈a,b〉≤时,直线l与m的夹角等于〈a,b〉;当<〈a,b〉≤π时,直线l与m的夹角等于π-〈a,b〉.事实上,若设直线l与m的夹角为θ,则cos θ=|cos〈a,b〉|(其中,a,b分别为l,m的方向向量) 线面夹角 设直线l与平面α所成的角为θ,当0≤〈u,a〉≤时,θ=-〈u,a〉;当<〈u,a〉≤π时,θ=〈u,a〉-.即sin θ=|cos〈u,a〉|(其中u为直线l的方向向量,a为平面α的法向量) 面面夹角 当0≤〈u,v〉≤时,平面α与β的夹角等于〈u,v〉;当<〈u,v〉≤π时,平面α与β的夹角等于π-〈u,v〉.事实上,若设平面α与平面β的夹角为θ,则cos θ=|cos〈u,v〉|(其中u,v分别为α,β的法向量) 3.注意两个易错点 (1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量,但要注意说明这两条直线不共线. (2)空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系,如求解二面角时,忽视法向量的方向,误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角,导致出错. [微练习] 1.如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AC=BC=AA1=2,D为侧棱AA1的中点. (1)求异面直线DC1与B1C所成角的余弦值. (2)求二面角B1?DC?C1的余弦值. 解:(1)如图,以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C?xyz,则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2), B1(0,2,2),D(2,0,1),∴=(-2,0,1),=(0,-2,-2), ∴cos〈,〉===-. 故异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为. (2)∵=(0,2,0),=(2,0,0),=(0,0,2), ∴·=0,·=0, ∴=(0,2,0)为平面ACC1A1的一个法向量. 设平面B1DC的法向量为n=(x,y,z). 由=(0,-2,-2),=(2,0,1),得 令x=1,得y=2,z=-2,∴n=(1,2,-2). ∴cos〈n,〉===. 由图知二面角B1?DC?C1为锐角, ∴二面角B1?DC?C1的余弦值为. 2.如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2. (1)证明:AB1⊥平面A1B1C1; (2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. 解:(1)证明:以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x轴,y轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz. 由题意知各点坐标如下: A(0,-,0),B(1,0,0),A1(0,-,4),B1(1,0,2),C1(0,,1). 因此=(1,,2),=(1,,-2),=(0,2,-3). 由·=0,得AB1⊥A1B1. 由·=0,得AB1⊥A1C1. 又因为A1B1∩A1C1=A1, 所以AB1⊥平面A1B1C1. (2)设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ. 由(1)可知=(0,2,1),=(1,,0), =(0,0,2). 设平面ABB1的法向量为n=(x,y,z). 由得 可取n=(-,1,0). 所以sin θ=|cos〈,n〉|==.所以直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是. 1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是(  ) A.2,   B.-, C.-3,2 D.2,2 解析:选A ∵a∥b,∴b=ka, 即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2), ∴解得或 2.如图,在三棱柱ABC?A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的正弦值为(  ) A. B. C. D. 解析:选A 以C为坐标原点,CA所在的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,CC1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示. 设CA=CB=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),A1(a,0,2),D(0,0,1),∴E,G,=,=(0,-a,1). ∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G, ∴⊥平面ABD,∴·=0,解得a=2. ∴=,=(2,-2,2), ∵⊥平面ABD, ∴为平面ABD的一个法向量. 又cos,===, ∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为. 3.已知四棱锥P ?ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1. (1)证明:平面PAD⊥平面PCD; (2)求AC与PB夹角的余弦值. 解:以A为坐标原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1). (1)证明:因为=(0,0,1),=(0,1,0), 所以·=0,所以AP⊥DC. 由题设知AD⊥DC,且AP∩AD=A, 所以DC⊥平面PAD. 又DC?平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD. (2)因为=(1,1,0),=(0,2,-1), 所以cos〈,〉==. 故AC与PB夹角的余弦值为. 4.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB=1,AB=4. (1)证明:平面ADE⊥平面ACD; (2)若AC=BC,求二面角D?AE?B的余弦值. 解:(1)证明:∵AB是半圆O的直径,∴BC⊥AC. ∵CD⊥平面ABC,∴CD⊥BC, ∵CD∩AC=C,∴BC⊥平面ACD. ∵CD∥BE,CD=BE, ∴四边形BCDE是平行四边形,∴BC∥DE, ∴DE⊥平面ACD, ∵DE?平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD. (2)以C为坐标原点,CA,CB,CD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,1),E(0,2,1), A(2,0,0),B(0,2,0), ∴=(-2,2,0),=(0,0,1), =(0,2,0),=(2,0,-1), 设平面DAE的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则即 令x1=1,得平面DAE的一个法向量n1=(1,0,2). 设平面ABE的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则即 令x2=1,得平面ABE的一个法向量n2=(1,1,0), ∴cos〈n1,n2〉===, 由图知二面角D?AE?B为钝角, ∴二面角D?AE?B的余弦值为-. 5.如图,在四棱锥E?ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,CD=2AB=2CE=4,∠BCE=120°,DE=2. (1)证明:平面BCE⊥平面CDE; (2)若BC=4,求二面角E?AD?B的余弦值. 解:(1)证明:因为AB∥CD,∠ABC=90°, 所以CD⊥BC. 因为CD=4,CE=2,DE=2, 所以CD2+CE2=DE2, 所以CD⊥CE, 因为BC∩CE=C, 所以CD⊥平面BCE. 因为CD?平面CDE, 所以平面BCE⊥平面CDE. (2)由(1)知,CD⊥平面BCE,故以点C为坐标原点,分别以,的方向为x轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系C?xyz. 所以A(4,0,2),B(4,0,0), E(-1,,0),D(0,0,4), 所以=(-4,0,2),=(-5,,-2), 设平面ADE的法向量为n=(x,y,z), 则所以 取x=1,则y=3,z=2, 所以n=(1,3,2)为平面ADE的一个法向量, 又平面ABD的一个法向量为m=(0,1,0), 所以cos〈n,m〉==, 由图知二面角E?AD?B为锐角, 所以二面角E?AD?B的余弦值为. 6.如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥平面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=. (1)求证:平面PBC⊥平面PQB; (2)若平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°,求PM的长. 解:(1)证明:∵AD∥BC,Q为AD的中点,BC=AD, ∴BC=QD, ∴四边形BCDQ为平行四边形, ∵∠ADC=90°,∴BC⊥BQ. ∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD, 又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴PQ⊥平面ABCD. ∴PQ⊥BC. 又∵PQ∩BQ=Q, ∴BC⊥平面PQB. ∵BC?平面PBC, ∴平面PBC⊥平面PQB. (2)由(1)可知PQ⊥平面ABCD,BQ⊥AD.故以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,),B(0,,0),C(-1,,0), ∴=(-1,0,-),=(-1,,-), 设平面PDC的法向量为n=(x1,y1,z1), 则即 取x1=3,则n=(3,0,-)为平面PDC的一个法向量. ①当M与C重合时,平面MQB的一个法向量为=(0,0,), 则==cos 60°,满足题意. 此时PM=. ②当M与C不重合时,设=λ, 由=λ=λ(-1,,-),且0≤λ<1, 得M(-λ,λ,-λ), ∴=(-λ,λ,(1-λ)),又=(0,,0), 设平面MBQ的法向量为m=(x2,y2,z2), 则即 取x2=,则m=为平面MBQ的一个法向量. ∵平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°, ∴cos 60°===, 解得λ=,∴PM=. 由①②知PM=或. 高考微点17 空间向量与立体几何 1.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2?n1=λn2 l1⊥l2 n1⊥n2?n1·n2=0 直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m l∥α n⊥m?m·n=0 l⊥α n∥m?n=λm 平面α,β的法向量分别为n,m α∥β n∥m?n=λm α⊥β n⊥m?n·m=0 2.空间角与向量夹角的关系 线线夹角 当0≤〈a,b〉≤时,直线l与m的夹角等于〈a,b〉;当<〈a,b〉≤π时,直线l与m的夹角等于π-〈a,b〉.事实上,若设直线l与m的夹角为θ,则cos θ=|cos〈a,b〉|(其中,a,b分别为l,m的方向向量) 线面夹角 设直线l与平面α所成的角为θ,当0≤〈u,a〉≤时,θ=-〈u,a〉;当<〈u,a〉≤π时,θ=〈u,a〉-.即sin θ=|cos〈u,a〉|(其中u为直线l的方向向量,a为平面α的法向量) 面面夹角 当0≤〈u,v〉≤时,平面α与β的夹角等于〈u,v〉;当<〈u,v〉≤π时,平面α与β的夹角等于π-〈u,v〉.事实上,若设平面α与平面β的夹角为θ,则cos θ=|cos〈u,v〉|(其中u,v分别为α,β的法向量) 3.注意两个易错点 (1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量,但要注意说明这两条直线不共线. (2)空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系,如求解二面角时,忽视法向量的方向,误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角,导致出错. [微练习] 1.如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AC=BC=AA1=2,D为侧棱AA1的中点. (1)求异面直线DC1与B1C所成角的余弦值. (2)求二面角B1?DC?C1的余弦值. 2.如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2. (1)证明:AB1⊥平面A1B1C1; (2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. 1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是(  ) A.2,   B.-, C.-3,2 D.2,2 2.如图,在三棱柱ABC?A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的正弦值为(  ) A. B. C. D. 3.已知四棱锥P ?ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1. (1)证明:平面PAD⊥平面PCD; (2)求AC与PB夹角的余弦值. 4.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB=1,AB=4. (1)证明:平面ADE⊥平面ACD; (2)若AC=BC,求二面角D?AE?B的余弦值. 5.如图,在四棱锥E?ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,CD=2AB=2CE=4,∠BCE=120°,DE=2. (1)证明:平面BCE⊥平面CDE; (2)若BC=4,求二面角E?AD?B的余弦值. 6.如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥平面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=. (1)求证:平面PBC⊥平面PQB; (2)若平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°,求PM的长.

    • 2020-05-15
    • 下载5次
    • 307.09KB
  • ID:3-7309902 高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点16 空间中的平行与垂直

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    高考微点16 空间中的平行与垂直 一、空间中直线间的位置关系 [微要点] 1.空间两直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 相交 在同一平面内 有且只有一个 平行 在同一平面内 零个 异面 不同在任何一个平面内 零个 2.用平移法求异面直线所成角的一般步骤 (1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角; (2)求角——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角; (3)结论——设由(2)求出的角的大小为θ,若0°<θ≤90°,则θ即为所求,若90°<θ<180°,则180°-θ即为所求. [微练习] 1.已知在四棱锥P?ABCD中,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,则在四棱锥P?ABCD的任意两个顶点的连线中,互相垂直的异面直线共有(  ) A.3对  B.4对 C.5对 D.6对 解析:选C 因为四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,PA⊥CD,AB⊥PD,BD⊥PA,AD⊥PB,共5对. 2.如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点.有以下四个结论: ①直线AM与CC1是相交直线; ②直线AM与BN是平行直线; ③直线BN与MB1是异面直线; ④直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为(  ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 解析:选C 直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故①②错误,显然③④正确. 3.如图,在三棱锥A?BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成角的余弦值是________. 解析:如图所示,连接DN, 取线段DN的中点K,连接MK,CK. ∵M为AD的中点,∴MK∥AN, ∴∠KMC(或其补角)为异面直线AN,CM所成的角. ∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N为BC的中点, 由勾股定理易求得AN=DN=CM=2,∴MK=. 在Rt△CKN中,CK= =. 在△CKM中,由余弦定理, 得cos∠KMC==, 所以异面直线AN,CM所成角的余弦值是. 答案: [微要点] 1.空间位置关系的证明方法 线线平行 ?a∥b,?a∥b,?a∥b,?c∥b 线面平行 ?a∥α,?a∥α,?a∥α 面面平行 ?α∥β,?α∥β,?α∥γ 线线垂直 ?a⊥b 线面垂直 ?l⊥α,?a⊥β,?a⊥β,?b⊥α 面面垂直 ?α⊥β,?α⊥β 2.注意四个易误点 (1)线面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件. (2)面面平行的判定中易忽视“面内两条直线相交”这一条件. (3)线面垂直的判定中易忽视“面内两条直线相交”这一条件. (4)面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一直线垂直于交线而盲目套用造成失误. [微练习] 1.如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,平面α与棱AB,AC,A1C1,A1B1分别交于点E,F,G,H,且直线AA1∥平面α.有下列三个命题:①四边形EFGH是平行四边形;②平面α∥平面BCC1B1;③平面α⊥平面BCFE.其中正确的命题有(  ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 解析:选C 因为AA1∥平面α,平面α∩平面AA1B1B=EH,所以AA1∥EH.同理AA1∥GF,所以EH∥GF,又ABC?A1B1C1是直三棱柱,易知EH=GF=AA1,所以四边形EFGH是平行四边形,故①正确; 若平面α∥平面BB1C1C,由平面α∩平面A1B1C1=GH,平面BCC1B1∩平面A1B1C1=B1C1,知GH∥B1C1,而GH∥B1C1不一定成立,故②错误; 由AA1⊥平面BCFE,结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE,又EH?平面α,所以平面α⊥平面BCFE. 综上可知,选C. 2.已知直线m,n和平面α,β,则使m⊥α成立的一个充分条件是(  ) A.m⊥n,n∥α B.m∥n,n⊥α C.m⊥n,n?α D.m∥β,β⊥α 解析:选B 由m∥n,n⊥α,得m⊥α.故选B. 3.(2019·开封高三定位考试)如图,在三棱锥D?ABC中,AB=2AC=2,∠BAC=60°,AD=,CD=3,平面ADC⊥平面ABC. (1)证明:平面BDC⊥平面ADC; (2)求三棱锥D?ABC的体积. 解:(1)证明:在△ABC中,由余弦定理可得, BC= = =, ∴BC2+AC2=AB2,∴BC⊥AC, ∵平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC, ∴BC⊥平面ADC, 又BC?平面BDC,∴平面BDC⊥平面ADC. (2)由余弦定理可得cos∠ACD==, ∴sin∠ACD=,∴S△ACD=×1×3×=, 则VD?ABC=VB?ADC=×× =. 4.如图,在四棱锥E?ABCD中,平面EAB⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,EA⊥EB,点M,N分别是AE,CD的中点. 求证:(1)MN∥平面EBC. (2)EA⊥平面EBC. 证明:(1)取BE的中点F,连接CF,MF. ∵M是AE的中点,∴MF綊AB. ∵N是矩形ABCD中边CD的中点, ∴NC綊AB,∴MF綊NC, ∴四边形MNCF是平行四边形,∴MN∥CF. 又MN?平面EBC,CF?平面EBC, ∴MN∥平面EBC. (2)∵平面EAB⊥平面ABCD,平面EAB∩平面ABCD=AB,BC?平面ABCD,BC⊥AB, ∴BC⊥平面EAB. 又∵EA?平面EAB,∴BC⊥EA. ∵EA⊥EB,BC∩EB=B,EB?平面EBC,BC?平面EBC, ∴EA⊥平面EBC. 1.已知两条相交直线a,b,且a∥平面α,则b与平面α的位置关系是(  ) A.相交或平行   B.平行 C.b在平面α内 D.平行或b在平面α内 解析:选A 由直线与平面的位置关系知直线b与平面α的位置关系是相交或平行. 2.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A?l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是(  ) A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β 解析:选D 因为直线m∥α,m∥β,α∩β=l,所以m∥l,所以AB∥m,AC⊥m,选项A、B正确;根据线面平行的判定定理可得AB∥β,选项C正确;当直线AC不在平面α内时,尽管AC⊥l,AC与平面β可以平行,也可以相交(不垂直),所以AC⊥β不一定成立.故选D. 3.已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B两点的任一点,则下列关系不正确的是(  ) A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥PB D.PC⊥BC 解析:选C 由PA⊥平面ACB,得PA⊥BC,故选项A正确;因为AB为直径,所以∠ACB=90°,所以BC⊥AC.又因为BC⊥PA,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,故选项B正确;由BC⊥平面PAC,PC?平面PAC,得BC⊥PC,故选项D正确.故选C. 4.如图,在三棱柱ABC?A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是(  ) A.CC1与B1E是异面直线 B.AC⊥平面ABB1A1 C.AE⊥B1C1 D.A1C1∥平面AB1E 解析:选C 对于A,CC1与B1E均在侧面BCC1B1内,又两直线不平行,故相交,A错误;对于B,AC与平面ABB1A1所成的角为60°,所以AC不垂直于平面ABB1A1,故B错误;对于C,AE⊥BC,BC∥B1C1,所以AE⊥B1C1,故C正确;对于D,AC与平面AB1E有公共点A,AC∥A1C1,所以A1C1与平面AB1E相交,故D错误. 5.已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2,点P是平面AA1D1D的中心,点Q是上底面A1B1C1D1上一点,且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ的长的最小值为(  ) A.1 B. C. D. 解析:选A 由PQ∥平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上,易知点Q在A1D1,B1C1中点的连线MN上,故PQ的最小值为PM=AA1=1. 6.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN的长度为________. 解析:如图,取AD的中点P,连接 PM,PN,则PM∥BD,PN∥AC,PN=AC=4,PM=BD=3,∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角,∴∠MPN=90°, ∴MN=5. 答案:5 7.如图,两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,设M,N分别是BD和AE的中点,则: ①AD⊥MN; ②MN∥平面CDE; ③MN∥CE; ④MN与CE异面. 其中正确结论的序号是________. 解析:取AD的中点K,连接MK,NK.则NK∥DE,MK∥CD,且MK⊥AD,NK⊥AD.又MK∩NK=K,则AD⊥平面MNK.又MN?平面MNK,故AD⊥MN,故①正确.因为NK∥DE,MK∥CD,MK∩NK=K,CD∩DE=D,所以平面MNK∥平面CDE,又MN?平面MNK,所以MN∥平面CDE.连接AC,可知AC过点M,且M,N分别为AC,AE的中点,所以MN∥CE,故②③正确,④不正确. 答案:①②③ 8.如图,已知四棱锥P?ABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,ED与AF相交于点H,则GH=________. 解析:因为四边形ABCD是平行四边形,且E,F分别是AB,CD的中点,所以AE綊DF,所以四边形AEFD是平行四边形,又ED∩AF=H,所以点H是DE的中点.因为平面AGF∥平面PEC,所以GF∥PC.又PD∩平面AGF=G,所以点G是PD的中点,所以在△PDE中,GH∥PE,GH=PE.又PA=PB=AB=2,所以PE=,所以GH=. 答案: 9.如图,平面PAC⊥平面ABC,AC⊥BC,PE∥BC,M是AE的中点,N是PA上一点. (1)若N是PA的中点,求证:MN⊥平面PAC; (2)若MN∥平面ABC,求证:N是PA的中点. 证明:(1)∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,AC⊥BC,BC?平面ABC, ∴BC⊥平面PAC. ∵M是AE的中点,N是PA的中点,∴MN∥PE. 又PE∥BC,∴MN∥BC,∴MN⊥平面PAC. (2)设平面PAE∩平面ABC=l. ∵MN∥平面ABC,MN?平面PAE,∴MN∥l. ∵PE∥BC,BC?平面ABC,PE?平面ABC, ∴PE∥平面ABC. 又平面PAE∩平面ABC=l,PE?平面PAE, ∴PE∥l,从而MN∥PE. 在△APE中,∵M是AE的中点,∴N是PA的中点. 10.(2019·南昌调研)如图,在四棱锥P?ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点. (1)求证:平面CMN∥平面PAB; (2)求三棱锥P?ABM的体积. 解:(1)证明:∵M,N分别为PD,AD的中点, ∴MN∥PA. 又MN?平面PAB,PA?平面PAB, ∴MN∥平面PAB. 在Rt△ACD中,∠CAD=60°,CN=AN, ∴∠ACN=60°. 又∠BAC=60°,∴CN∥AB. ∵CN?平面PAB,AB?平面PAB, ∴CN∥平面PAB.又CN∩MN=N, ∴平面CMN∥平面PAB. (2)由(1)知,平面CMN∥平面PAB, ∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离. ∵AB=1,∠ABC=90°,∠BAC=60°,∴BC=, ∴三棱锥P?ABM的体积V=VM?PAB=VC?PAB=VP?ABC=××1××2=. 高考微点16 空间中的平行与垂直 一、空间中直线间的位置关系 [微要点] 1.空间两直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 相交 在同一平面内 有且只有一个 平行 在同一平面内 零个 异面 不同在任何一个平面内 零个 2.用平移法求异面直线所成角的一般步骤 (1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角; (2)求角——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角; (3)结论——设由(2)求出的角的大小为θ,若0°<θ≤90°,则θ即为所求,若90°<θ<180°,则180°-θ即为所求. [微练习] 1.已知在四棱锥P?ABCD中,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,则在四棱锥P?ABCD的任意两个顶点的连线中,互相垂直的异面直线共有(  ) A.3对  B.4对 C.5对 D.6对 2.如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点.有以下四个结论: ①直线AM与CC1是相交直线; ②直线AM与BN是平行直线; ③直线BN与MB1是异面直线; ④直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为(  ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 3.如图,在三棱锥A?BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成角的余弦值是________. [微要点] 1.空间位置关系的证明方法 线线平行 ?a∥b,?a∥b,?a∥b,?c∥b 线面平行 ?a∥α,?a∥α,?a∥α 面面平行 ?α∥β,?α∥β,?α∥γ 线线垂直 ?a⊥b 线面垂直 ?l⊥α,?a⊥β,?a⊥β,?b⊥α 面面垂直 ?α⊥β,?α⊥β 2.注意四个易误点 (1)线面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件. (2)面面平行的判定中易忽视“面内两条直线相交”这一条件. (3)线面垂直的判定中易忽视“面内两条直线相交”这一条件. (4)面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一直线垂直于交线而盲目套用造成失误. [微练习] 1.如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,平面α与棱AB,AC,A1C1,A1B1分别交于点E,F,G,H,且直线AA1∥平面α.有下列三个命题:①四边形EFGH是平行四边形;②平面α∥平面BCC1B1;③平面α⊥平面BCFE.其中正确的命题有(  ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 2.已知直线m,n和平面α,β,则使m⊥α成立的一个充分条件是(  ) A.m⊥n,n∥α B.m∥n,n⊥α C.m⊥n,n?α D.m∥β,β⊥α 3.(2019·开封高三定位考试)如图,在三棱锥D?ABC中,AB=2AC=2,∠BAC=60°,AD=,CD=3,平面ADC⊥平面ABC. (1)证明:平面BDC⊥平面ADC; (2)求三棱锥D?ABC的体积. 4.如图,在四棱锥E?ABCD中,平面EAB⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,EA⊥EB,点M,N分别是AE,CD的中点. 求证:(1)MN∥平面EBC. (2)EA⊥平面EBC. 1.已知两条相交直线a,b,且a∥平面α,则b与平面α的位置关系是(  ) A.相交或平行   B.平行 C.b在平面α内 D.平行或b在平面α内 2.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A?l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是(  ) A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β 3.已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B两点的任一点,则下列关系不正确的是(  ) A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥PB D.PC⊥BC 4.如图,在三棱柱ABC?A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是(  ) A.CC1与B1E是异面直线 B.AC⊥平面ABB1A1 C.AE⊥B1C1 D.A1C1∥平面AB1E 5.已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2,点P是平面AA1D1D的中心,点Q是上底面A1B1C1D1上一点,且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ的长的最小值为(  ) A.1 B. C. D. 6.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN的长度为________. 7.如图,两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,设M,N分别是BD和AE的中点,则: ①AD⊥MN; ②MN∥平面CDE; ③MN∥CE; ④MN与CE异面. 其中正确结论的序号是________. 8.如图,已知四棱锥P?ABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,ED与AF相交于点H,则GH=________. 9.如图,平面PAC⊥平面ABC,AC⊥BC,PE∥BC,M是AE的中点,N是PA上一点. (1)若N是PA的中点,求证:MN⊥平面PAC; (2)若MN∥平面ABC,求证:N是PA的中点. 10.(2019·南昌调研)如图,在四棱锥P?ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点. (1)求证:平面CMN∥平面PAB; (2)求三棱锥P?ABM的体积.

    • 2020-05-15
    • 下载2次
    • 343.22KB
  • ID:3-7309897 高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点15 空间几何体的三视图与表面积、体积

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    高考微点15 空间几何体的三视图与表面积、体积 [微要点] 1.一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视图放在正(主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”. 2.注意两个易误点 (1)画三视图时,能看见的线和棱用实线表示,不能看见的线和棱用虚线表示. (2)一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同. [微练习] 1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为(  ) 解析:选D 由正视图和俯视图可知,该几何体是后面为半个圆锥、前面为三棱锥的组合体,所以其侧视图可以为选项D中的图形.故选D. 2.在正方体ABCD ?A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点(如图),用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为(  ) 解析:选C 过点A,E,C1的截面为AEC1F,如图,则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形.故选C. 3.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为(  ) A.        B. C.1 D. 解析:选D 俯视图的高为,即侧视图的底为,侧视图的高,即正视图的高为,所以其侧视图的面积S=××=. [微要点] 1.空间几何体的表面积与体积公式   名称 几何体   表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=Sh 台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S=4πR2 V=πR3 2.注意三个易误点 (1)求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积问题易出错. (2)由三视图计算几何体的表面积与体积时,由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误. (3)易混侧面积与表面积的概念. [微练习] 1.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是(  ) A.280 B.292 C.360 D.372 解析:选C 该几何体由两个长方体组合而成,其表面积等于下面长方体的表面积与上面长方体的4个侧面积之和,故S=2(10×8+10×2+8×2)+2(6×8+8×2)=360. 2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为(  ) A.3 B. C.7 D. 解析:选B 由题中的三视图可得,该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体,长方体的长,宽,高分别为2,1,2,体积为4,切去的三棱锥的体积为,故该几何体的体积V=4-=. 3.(2019·福州四校联考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  ) A. B.27 C.27 D.27 解析:选D 在长、宽、高分别为3,3,3的长方体中,由几何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥C?BAP,其中底面BAP是∠BAP=90°的直角三角形,AB=3,AP=3,所以BP=6,又棱CB⊥平面BAP且CB=3,所以AC=6,所以该几何体的表面积是×3×3+×3×3+×6×3+×6×3=27,故选D. 4.在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内(包括边)的动点,且A1F∥平面D1AE,沿A1F将点B1所在的几何体削去,则剩余几何体的体积为(  ) A. B. C. D. 解析:选D 分别取B1B,B1C1的中点M,N,连接A1M,MN,A1N,∵A1M∥D1E,A1M?平面D1AE,D1E?平面D1AE,∴A1M∥平面D1AE.同理可得MN∥平面D1AE,又A1M,MN是平面A1MN内的相交直线,∴平面A1MN∥平面D1AE,由此结合A1F∥平面D1AE,可得直线A1F?平面A1MN,即点F的轨迹是线段MN, ∴VB1?A1MN=××1××=,∴将点B1所在的几何体削去,剩余几何体的体积为1-=. [微要点] 1.与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a,球的半径为R, ①若球为正方体的外接球,则2R=a; ②若球为正方体的内切球,则2R=a; ③若球与正方体的各棱相切,则2R=a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 2.切、接问题的处理规律 (1)切问题的处理规律 球的内切主要是球内切于多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.若内切的是多面体,则主要根据多面体过球心的对角面来作截面. (2)接问题的处理规律 把多面体的顶点放在球面上,即球为该多面体的外接球.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径. [微练习] 1.已知直三棱柱ABC?A1B1C1中,AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=2,则该三棱柱内切球O1的表面积与外接球O2的表面积的比值为(  ) A. B. C. D. 解析:选C 由题意得BC=5,设外接球O2的半径为R,则R===.因为Rt△ABC的内切圆的半径为1,且直三棱柱ABC?A1B1C1的高为2,所以该直三棱柱的内切球O1的半径r=1,所以==. 2.《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”,现有一“阳马”,其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形,若该“阳马”的顶点都在同一个球面上,则该球的体积为(  ) A.π B.8π C.π D.24π 解析:选C 由题可知,该“阳马”为四棱锥,记为P?ABCD,将其放入长方体中如图所示,则该“阳马”的外接球直径为长方体的体对角线,易知AD=AP=1,AB=2,所以PC==,所以外接球的半径为=,故该球的体积为πR3=××=π. 3.如图,已知球O是棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为(  ) A.π     B. C. D.π 解析:选C 平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆.因为正方体的棱长为1,所以AC=CD1=AD1=,所以内切圆的半径r=×tan 30°=,所以S=πr2=π×=π. 1.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(  ) 解析:选C 侧视图从图形的左面向右面看,看到一个矩形,在矩形上有一条对角线,对角线是由左下角到右上角的线,且是实线,故选C. 2.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形,②正方形,③圆,④椭圆中的(  ) A.①②  B.②③ C.③④ D.①④ 解析:选B 若俯视图为正方形,则与正视图中的长为3,侧视图的宽为2矛盾;若俯视图为圆,则也与正视图中的长为3,侧视图的宽为2矛盾.故选B. 3.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为(  ) A. B. C.2 D. 解析:选B 由题意得,该几何体为如图所示的五棱锥P?ABCDE, 所以体积V=××=. 4.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺3寸,容纳米2 000斛,(注:1丈=10尺,1尺=10寸,1斛≈1.62立方尺,圆周率取3),则圆柱底面圆周长约为(  ) A.1丈3尺 B.5丈4尺 C.9丈2尺 D.48丈6尺 解析:选B 由题意,圆柱形谷仓的高h=10+3+×=(尺),体积V≈2 000×1.62=3 240(立方尺).设圆柱的底面半径为R尺,由体积公式得πR2×≈3 240,得3R2×≈3 240,解得R2≈81,故R≈9,所以底面圆周长C=2πR≈2×3×9=54(尺),即5丈4尺. 5.若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,则圆锥侧面积与球面面积之比为(  ) A.∶2 B.∶2 C.∶2 D.3∶2 解析:选C 设圆锥底面半径为r,高为h,则球的半径R=,由条件知,πr2h=π3,所以h=.所以圆锥的侧面积S1=πr·=πr=πr2,球面面积S2=4πR2=4π×2=πr2,所以S1∶S2=∶2. 6.如图所示,正四棱锥P?ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若VP?ABCD=,则球O的表面积是(  ) A.4π B.8π C.12π D.16π 解析:选D 由OP=OC=R,AB=R,得AB2·OP=×(R)2×R=,所以R=2.故S球=4πR2=16π. 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  ) A.4+2 B.4+4 C.6+2 D.6+4 解析:选B 由三视图还原几何体的直观图如图所示,易知BC⊥平面PAC,又PC?平面PAC,所以BC⊥PC,又AP=AC=BC=2,所以PC==2,又AB=2,所以S△PBC=S△PAB=×2×2=2,S△ABC=S△PAC=×2×2=2,所以该几何体的表面积为4+4. 8.空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上,E,F分别是AB,CD的中点,且EF⊥AB,EF⊥CD.若AB=8,CD=EF=4,则该球的半径等于(  ) A. B. C. D. 解析:选C 如图,连接BF,AF,DE,CE,因为AE=BE,EF⊥AB,所以AF=BF.同理可得EC=ED.又空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上,所以球心O必在EF上,连接OA,OC.设该球的半径为R,OE=x,则R2=AE2+OE2=16+x2,且R2=CF2+OF2=4+(4-x)2,解得R=. 9.已知正四棱台的高为12 cm,两底面的边长分别为2 cm和12 cm,则该正四棱台的表面积为________cm2. 解析:∵斜高h′= =13(cm), ∴该四棱台的表面积S=S上+S下+S侧=22+122+4××(2+12)×13=512(cm2). 答案:512 10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________. 解析:由三视图可得该几何体为圆柱和四分之一球的组合体.圆柱的底面半径为1,高为3,球的半径为1,故该几何体的表面积为S=π×12+2π×1×3+4π×12×+π×12+π×12=9π. 答案:9π 11.在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2,E为AB的中点,则三棱锥P?BCE的体积为________. 解析:由题意知S底面ABCD=2×2sin 60°=2,所以S△EBC=,故VP?EBC=×2×=. 答案: 12.如图,在三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱A1A和B1B上各有一个动点P,Q,且满足A1P=BQ,M是棱CA上的动点,则的最大值是________. 解析:设三棱柱ABC?A1B1C1的体积为V. ∵侧棱AA1和BB1上各有一动点P,Q满足A1P=BQ,∴四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等. ∵M是棱CA上的动点, ∴点M在点C处时,的值最大. 又四棱锥M?PQBA的体积等于三棱锥C?ABA1的体积,即等于V, ∴的最大值是=. 答案: 高考微点15 空间几何体的三视图与表面积、体积 [微要点] 1.一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视图放在正(主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”. 2.注意两个易误点 (1)画三视图时,能看见的线和棱用实线表示,不能看见的线和棱用虚线表示. (2)一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同. [微练习] 1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为(  ) 2.在正方体ABCD ?A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点(如图),用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为(  ) 3.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为(  ) A.        B. C.1 D. [微要点] 1.空间几何体的表面积与体积公式   名称 几何体   表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=Sh 台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S=4πR2 V=πR3 2.注意三个易误点 (1)求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积问题易出错. (2)由三视图计算几何体的表面积与体积时,由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误. (3)易混侧面积与表面积的概念. [微练习] 1.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是(  ) A.280 B.292 C.360 D.372 2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为(  ) A.3 B. C.7 D. 3.(2019·福州四校联考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  ) A. B.27 C.27 D.27 4.在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内(包括边)的动点,且A1F∥平面D1AE,沿A1F将点B1所在的几何体削去,则剩余几何体的体积为(  ) A. B. C. D. [微要点] 1.与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a,球的半径为R, ①若球为正方体的外接球,则2R=a; ②若球为正方体的内切球,则2R=a; ③若球与正方体的各棱相切,则2R=a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 2.切、接问题的处理规律 (1)切问题的处理规律 球的内切主要是球内切于多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.若内切的是多面体,则主要根据多面体过球心的对角面来作截面. (2)接问题的处理规律 把多面体的顶点放在球面上,即球为该多面体的外接球.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径. [微练习] 1.已知直三棱柱ABC?A1B1C1中,AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=2,则该三棱柱内切球O1的表面积与外接球O2的表面积的比值为(  ) A. B. C. D. 2.《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”,现有一“阳马”,其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形,若该“阳马”的顶点都在同一个球面上,则该球的体积为(  ) A.π B.8π C.π D.24π 3.如图,已知球O是棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为(  ) A.π     B. C. D.π 1.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(  ) 2.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形,②正方形,③圆,④椭圆中的(  ) A.①②  B.②③ C.③④ D.①④ 3.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为(  ) A. B. C.2 D. 4.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺3寸,容纳米2 000斛,(注:1丈=10尺,1尺=10寸,1斛≈1.62立方尺,圆周率取3),则圆柱底面圆周长约为(  ) A.1丈3尺 B.5丈4尺 C.9丈2尺 D.48丈6尺 5.若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,则圆锥侧面积与球面面积之比为(  ) A.∶2 B.∶2 C.∶2 D.3∶2 6.如图所示,正四棱锥P?ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若VP?ABCD=,则球O的表面积是(  ) A.4π B.8π C.12π D.16π 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  ) A.4+2 B.4+4 C.6+2 D.6+4 8.空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上,E,F分别是AB,CD的中点,且EF⊥AB,EF⊥CD.若AB=8,CD=EF=4,则该球的半径等于(  ) A. B. C. D. 9.已知正四棱台的高为12 cm,两底面的边长分别为2 cm和12 cm,则该正四棱台的表面积为________cm2. 10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________. 11.在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2,E为AB的中点,则三棱锥P?BCE的体积为________. 12.如图,在三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱A1A和B1B上各有一个动点P,Q,且满足A1P=BQ,M是棱CA上的动点,则的最大值是________.

    • 2020-05-14
    • 下载5次
    • 642.36KB
  • ID:3-7297646 高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点14 不等式 学案(word版含解析)

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    高考微点14 不等式 [微要点] 1.掌握两类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法. 一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0,Δ=b2-4ac>0),如果a与ax2+bx+c同号,则其解集在两根之外;如果a与ax2+bx+c异号,则其解集在两根之间. (2)简单分式不等式的解法. ①>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0). ②≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 2.注意两个易误点 (1)对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形. (2)当Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是?,要注意区别. [微练习] 1.关于x的一元二次不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞),则不等式ax2+bx-2<0的解集为(  ) A.(-3,1)     B.∪(2,+∞) C. D.(-1,2) 解析:选C 由关于x的一元二次不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞),可知方程x2+ax+b=0的两实数根分别为-3,1, 则解得 所以不等式ax2+bx-2<0可化为2x2-3x-2<0,即(2x+1)(x-2)<0, 解得-0恒成立,则b的取值范围是________. 解析:由f(1-x)=f(1+x)知f(x)图象的对称轴为直线x=1,则有=1,故a=2.由f(x)的图象(图略)可知f(x)在[-1,1]上为增函数,∴当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,令b2-b-2>0,解得b<-1或b>2. 答案:(-∞,-1)∪(2,+∞) [微要点] 1.线性目标函数z=ax+by最值的确定方法 (1)将目标函数z=ax+by化成直线的斜截式方程(z看成常数). (2)根据的几何意义,确定的最值. (3)得出z的最值. 2.常见的非线性目标函数表示的几何意义 (1)z=:点(x,y)与原点的距离. (2)z=:点(x,y)与点(a,b)的距离. (3)z=:过点(x,y)与原点的直线的斜率. (4)z=:过点(x,y)与点(a,b)的直线的斜率. 3.注意两个易错点 (1)画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先把二元一次不等式化为ax+by+c>0(a>0). (2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的,即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个,也可能有无数多个,也可能没有. [微练习] 1.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为(  ) A.-7 B.-4 C.1 D.2 解析:选A 法一:将z=y-2x化为y=2x+z,作出可行域和直线y=2x(如图所示),当直线y=2x+z向右下方平移时,直线y=2x+z在y轴上的截距z减小,数形结合知当直线y=2x+z经过点B(5,3)时,z取得最小值3-10=-7.故选A. 法二:易知平面区域的三个顶点坐标分别为(1,3),(2,0),(5,3),分别代入z=y-2x得z的值分别为1,-4,-7,故z的最小值为-7.故选A. 2.若x,y满足约束条件当且仅当x=y=3时,z=ax-y取得最小值,则实数a的取值范围是(  ) A. B. C. D. 解析:选C 作出题中约束条件表示的可行域,如图中△ABC(含边界)所示,作直线l:z=ax-y,当l向上平移时,z减小,由题意,z仅在点A(3,3)处取得最小值,a是直线l的斜率,又kAC=-,kAB=,所以-0,b>0),当且仅当a=b时取等号. (3)ab≤2(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (4)a+≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号; a+≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取等号. (5)+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号. 2.注意两个易误点 (1)求最值时要注意三点:一是各项为正;二是寻求定值;三是考虑等号成立的条件. (2)多次使用基本不等式时,易忽视取等号的条件的一致性. [微练习] 1.“x>0”是“x+≥2”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C 当x>0时,x+≥2=2.因为x,同号,所以x+≥2,则x>0,>0,所以“x>0”是“x+≥2”成立的充要条件. 2.已知x>1,y>1且lg x+lg y=6,则lg x·lg y的最大值是(  ) A.6 B.9 C.12 D.36 解析:选B 因为x>1,y>1,所以lg x>0,lg y>0,所以lg x·lg y≤2=9,当且仅当lg x=lg y,即x=y=1 000时取等号. 3.设x,y∈(0,+∞),且xy-(x+y)=1,则(  ) A.x+y≥2(+1) B.xy≤+1 C.x+y≤(+1)2 D.xy≥2(+1) 解析:选A xy=1+(x+y)≤2,所以(x+y)2-4(x+y)-4≥0,则有x+y≥2(+1).故选A. 1.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|log2(x2-x)>1},则A∩B=(  ) A.(2,3)  B.(2,3] C.(-3,-2) D.[-3,-2] 解析:选B 因为A={x|x2-2x-3≤0}=[-1,3],B={x|log2(x2-x)>1}={x|x2-x>2}=(-∞,-1)∪(2,+∞),所以A∩B=(2,3]. 2.已知a,b,c∈R,则下列命题正确的是(  ) A.a>b?ac2>bc2 B.>?a>b C.?> D.?> 解析:选C 当c=0时,ac2=0,bc2=0,则由a>b不能得到ac2>bc2,故A错误;当c<0时,>?a0?或故D错误,C正确. 3.已知实数x,y满足则使不等式x+2y≥2成立的点(x,y)组成的平面区域的面积为(  ) A.1 B. C. D. 解析:选A 由题意,作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,则所求面积为×1×2=1. 4.关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是(  ) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(1,3) C.(-1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞) 解析:选C ∵关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),即不等式ax0可化为(x+1)(x-3)<0,解得-10,n>0,2m+n=1,则+的最小值为(  ) A.4 B.2 C. D.16 解析:选C ∵m>0,n>0,2m+n=1,则+=(2m+n)=++≥+2=,当且仅当n=,m=时取等号.故选C. 7.设x,y满足约束条件则z=4x·y的最大值为(  ) A.1 024 B.256 C.8 D.4 解析:选B 作出约束条件对应的平面区域如图中阴影部分所示.z=4 x·y=22x+1,令u=2x-y,平移直线y=2x-u.由图象可知当直线y=2x-u过点A时,直线y=2x-u的截距最小,此时u最大,由解得即A(5,2).将点A的坐标代入目标函数u=2x-y,得u=2×5-2=8,所以目标函数z=4 x·y=22x+1的最大值是28=256.故选B. 8.设点P(x,y)在不等式组表示的平面区域上,则z=的最小值为(  ) A.-1 B. C.2 D. 解析:选D 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z==可知其表示平面区域内的点P(x,y)与点A(1,0)的距离,即z=|PA|,z的最小值为点A到直线2x-y=0的距离,即=.故选D. 9.已知正数x,y满足x+y=1,则z=的最小值为(  ) A.2(-1) B.4 C. D.8 解析:选C z==xy+++=xy+.∵x+y=1,∴(x+y)2=x2+2xy+y2=1,∴x2+y2=1-2xy,∴z=xy+=xy+-2.令t=xy,则0<t=xy≤2=.由f(t)=t+在上单调递减,可知当t=时,f(t)=t+有最小值,故x=y=时,z有最小值.故选C. 10.设实数x,y满足不等式组若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则+的最小值为(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.分析知目标函数在x-y+2=0与3x-y-6=0的交点(4,6)处取得最大值12,所以4a+6b=12,即2a+3b=6,所以+=·=1+++1≥2+2=4,当且仅当=,即a=,b=1时取等号,故+的最小值为4. 11.某生产厂家根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按5天计算)生产A,B,C三种产品共15吨(同一时间段内只能生产一种产品),已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如表: 产品名称 A B C 天 产值(单位:万元) 4 2 则每周最高产值是(  ) A.30万元 B.40万元 C.47.5万元 D.52.5万元 解析:选D 设每周生产A产品x吨,生产B产品y吨,则生产C产品(15-x-y)吨,产值为z万元. 目标函数为z=4x+y+2(15-x-y)=2x+y+30,题目中包含的约束条件为 即 作出可行域如图中阴影部分所示. 化目标函数z=2x+y+30为y=-x+-20. 由图可知,当直线y=-x+-20过B(0,15)时,直线在y轴上的截距最大,此时z有最大值为2×0+×15+30=52.5. 12.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2.若对任意的x∈[m,m+4],不等式f(x+m2-2m)≥4f(x)恒成立,则实数m的取值范围为(  ) A.[1,+∞) B.(-∞,-4]∪[1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]∪[4,+∞) 解析:选D 依题意得f(x)=所以函数f(x)在R上单调递增,且4f(x)=f(2x).对任意的x∈[m,m+4],不等式f(x+m2-2m)≥4f(x)恒成立?对任意的x∈[m,m+4],不等式f(x+m2-2m)≥f(2x)恒成立?对任意的x∈[m,m+4],不等式x+m2-2m≥2x恒成立?对任意的x∈[m,m+4],不等式m2-2m≥x恒成立?m2-2m≥m+4,解得m≥4 或m≤-1,故实数m的取值范围为(-∞,-1]∪[4,+∞).故选D. 13.函数y=1-2x-(x<0)的最小值为________. 解析:∵x<0,∴y=1-2x-=1+(-2x)+≥1+2 =1+2,当且仅当x=-时取等号,故y的最小值为1+2. 答案:1+2 14.设函数f(x)=则不等式f(x)2或x≤0, ∴不等式f(x)0(或<0)(a≠0,Δ=b2-4ac>0),如果a与ax2+bx+c同号,则其解集在两根之外;如果a与ax2+bx+c异号,则其解集在两根之间. (2)简单分式不等式的解法. ①>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0). ②≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 2.注意两个易误点 (1)对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形. (2)当Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是?,要注意区别. [微练习] 1.关于x的一元二次不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞),则不等式ax2+bx-2<0的解集为(  ) A.(-3,1)     B.∪(2,+∞) C. D.(-1,2) 2.不等式≤x-2的解集是(  ) A.(-∞,0]∪(2,4] B.[0,2)∪[4,+∞) C.[2,4) D.(-∞,2)∪(4,+∞) 3.若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是(  ) A.[2,+∞) B.(-∞,-6] C.[-6,2] D.(-∞,-6]∪[2,+∞) 4.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意的实数x,都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是________. [微要点] 1.线性目标函数z=ax+by最值的确定方法 (1)将目标函数z=ax+by化成直线的斜截式方程(z看成常数). (2)根据的几何意义,确定的最值. (3)得出z的最值. 2.常见的非线性目标函数表示的几何意义 (1)z=:点(x,y)与原点的距离. (2)z=:点(x,y)与点(a,b)的距离. (3)z=:过点(x,y)与原点的直线的斜率. (4)z=:过点(x,y)与点(a,b)的直线的斜率. 3.注意两个易错点 (1)画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先把二元一次不等式化为ax+by+c>0(a>0). (2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的,即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个,也可能有无数多个,也可能没有. [微练习] 1.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为(  ) A.-7 B.-4 C.1 D.2 2.若x,y满足约束条件当且仅当x=y=3时,z=ax-y取得最小值,则实数a的取值范围是(  ) A. B. C. D. 3.已知点P(x,y)的坐标满足条件点O为坐标原点,则|OP|的最小值等于________. [微要点] 1.掌握基本不等式的常用变形 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2)a+b≥2(a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号. (3)ab≤2(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (4)a+≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号; a+≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取等号. (5)+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号. 2.注意两个易误点 (1)求最值时要注意三点:一是各项为正;二是寻求定值;三是考虑等号成立的条件. (2)多次使用基本不等式时,易忽视取等号的条件的一致性. [微练习] 1.“x>0”是“x+≥2”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知x>1,y>1且lg x+lg y=6,则lg x·lg y的最大值是(  ) A.6 B.9 C.12 D.36 3.设x,y∈(0,+∞),且xy-(x+y)=1,则(  ) A.x+y≥2(+1) B.xy≤+1 C.x+y≤(+1)2 D.xy≥2(+1) 1.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|log2(x2-x)>1},则A∩B=(  ) A.(2,3)  B.(2,3] C.(-3,-2) D.[-3,-2] 2.已知a,b,c∈R,则下列命题正确的是(  ) A.a>b?ac2>bc2 B.>?a>b C.?> D.?> 3.已知实数x,y满足则使不等式x+2y≥2成立的点(x,y)组成的平面区域的面积为(  ) A.1 B. C. D. 4.关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是(  ) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(1,3) C.(-1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞) 5.设a,b∈R,若p:a0,n>0,2m+n=1,则+的最小值为(  ) A.4 B.2 C. D.16 7.设x,y满足约束条件则z=4x·y的最大值为(  ) A.1 024 B.256 C.8 D.4 8.设点P(x,y)在不等式组表示的平面区域上,则z=的最小值为(  ) A.-1 B. C.2 D. 9.已知正数x,y满足x+y=1,则z=的最小值为(  ) A.2(-1) B.4 C. D.8 10.设实数x,y满足不等式组若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则+的最小值为(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 11.某生产厂家根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按5天计算)生产A,B,C三种产品共15吨(同一时间段内只能生产一种产品),已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如表: 产品名称 A B C 天 产值(单位:万元) 4 2 则每周最高产值是(  ) A.30万元 B.40万元 C.47.5万元 D.52.5万元 12.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2.若对任意的x∈[m,m+4],不等式f(x+m2-2m)≥4f(x)恒成立,则实数m的取值范围为(  ) A.[1,+∞) B.(-∞,-4]∪[1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]∪[4,+∞) 13.函数y=1-2x-(x<0)的最小值为________. 14.设函数f(x)=则不等式f(x)

    • 2020-05-11
    • 下载5次
    • 209.95KB
  • ID:3-7297645 高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点13 数列的通项公式与求和 学案(word版含解析)

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    高考微点13 数列的通项公式与求和 [微要点] 1.掌握数列通项公式的几种常用方法 (1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式. (2)利用Sn,an的关系式,即an= (3)若an+1-an=f(n),则用累加法. (4)若=f(n),则用累乘法. (5)若an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0),则用构造法.设an+1+λ=p(an+λ),求得λ=,进而用等比数列求通项公式. 2.注意一个易误点 在利用数列的前n项和求通项时,往往容易忽略先求出a1,而是直接把数列的通项公式写成an=Sn-Sn-1的形式,但它只适用于n≥2的情形. [微练习] 1.在数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N *),则是这个数列的(  ) A.第6项  B.第7项 C.第8项 D.第9项 解析:选B 由an+1=可得=+,即数列是以=1为首项,为公差的等差数列,故=1+(n-1)×=n+,即an=,由=,解得n=7. 2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,则通项公式an=(  ) A.2·3n-1-1 B.2·3 n-1 C.3n-2 D.2·3n-5 解析:选A 因为an+1+1=3(an+1),所以数列{an+1}是等比数列,首项为a1+1=2,公比为3.所以an+1=2×3 n-1,故an=2·3 n-1-1. 3.已知数列{an}满足a1=1,an-an-1=n,则an=________. 解析:由题意可知,a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n, 相加可得an-a1=2+3+…+n,所以an=1+2+3+…+n=. 答案: [微要点] 1.掌握数列求和的常用方法 (1)公式法:适合求等差数列或等比数列的前n项和.对等比数列利用公式法求和时,一定注意公比q是否取1. (2)错位相减法:主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法:把数列和式中的各项分别裂项后,消去一部分从而计算和的方法,适用于求通项为的数列的前n项和. (4)分组求和法:一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分,分别求和,然后再合并. (5)并项求和法:当一个数列为摆动数列,形如(-1)nan的形式,通常分奇、偶,观察相邻两项是否构成新数列. 2.注意两个易误点 (1)裂项求和时忽视系数致误,将通项直接裂开而没有注意系数变化,或乘以系数而不是系数的倒数; (2)错位相减求和时项数出错致误.两式相减后需要进行等比数列求和,项数一定要看清,建议利用公式Sn=求和,避免项数出错. [微练习] 1.已知数列an=则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=(  ) A.4 800 B.4 900 C.5 000 D.5 100 解析:选C 由题意得a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=0+2+2+4+4+…+98+98+100=2(2+4+6+…+98)+100=2×+100=5 000. 2.设Sn为等差数列{an}的前n项和,a2=3,S5=25,若的前n项和为,则n的值为(  ) A.504 B.1 008 C.1 009 D.2 017 解析:选C 设等差数列{an}的公差为d, 则由题意可得a2=a1+d=3,S5=5a1+d=25, 解得a1=1,d=2, ∴an=1+2(n-1)=2n-1, ∴= =, ∴++…+ = =. 令=, 则1-=, ∴2n+1=2 019, ∴n=1 009. 3.已知等差数列{an}满足:an+1>an(n∈N*),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,an+2log2bn=-1. (1)分别求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 解:(1)设d为等差数列{an}的公差,则d>0,由a1=1,a2=1+d,a3=1+2d分别加上1,1,3后成等比数列, 得(2+d)2=2(4+2d), 解得d=2(负值舍去),所以an=1+(n-1)×2=2n-1, 又因为an+2log2bn=-1, 所以log2bn=-n,则bn=. (2)由(1)知an·bn=(2n-1)·, 则Tn=+++…+,① Tn=+++…+,② ①-②,得 Tn=+2×-. ∴Tn=+2×-, ∴Tn=1+2-- =3-. 1.在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,那么S100的值为(  ) A.2 500   B.2 600 C.2 700 D.2 800 解析:选B 当n为奇数时,an+2-an=0?an=1,当n为偶数时,an+2-an=2?an=n,故an=于是S100=50+=2 600. 2.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=,Sn=10,则n=(  ) A.90 B.119 C.120 D.121 解析:选C ∵an==-, ∴Sn=(-1)+(-)+…+(-)=-1=10,∴n+1=121,n=120. 3.在数列{an}中,a2=8,a5=2,且2an+1-an+2=an(n∈N *),则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是(  ) A.-10 B.10 C.50 D.70 解析:选C 由2an+1-an+2=an,得2an+1=an+2+an,所以数列{an}是等差数列.设公差为d,由a2=a1+d=8,a5=a1+4d=2,得a1=10,d=-2,所以an=-2n+12,Sn==-n2+11n.当1≤n≤6时,an≥0;当n≥7时,an<0,所以|a1|+|a2|+…+|a10|=2S6-S10=50.故选C. 4.设{an}是正项数列,其前n项和Sn满足4Sn=(an-1)·(an+3)(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=(  ) A.2n+1 B.2n-1 C.2n-1 D.2n+1 解析:选D 由4Sn=(an-1)(an+3), 得4Sn-1=(an-1-1)·(an-1+3),n≥2, 两式相减得(an+an-1)(an-an-1-2)=0. 又{an}是正项数列, ∴an-an-1-2=0(n≥2), 则数列{an}是公差为2的等差数列,a1=3, ∴an=2n+1. 5.“五一”期间,北京十家重点公园将进行免费游园活动,北海公园免费开放一天,早晨6时30分有2人进入公园,第一个30分钟内有4人进去并出来1人,第二个30分钟内进去8人并出来2人,第三个30分钟内进去16人并出来3人,第四个30分钟内进去32人并出来4人……按照这种规律进行下去,到上午11时30分公园内的人数是(  ) A.211-47 B.212-57 C.213-68 D.214-80 解析:选B 设每30分钟进入公园的人数构成数列{an},则数列{an}满足a1=2,a2=22-1,a3=23-2,a4=24-3,…,a11=211-10,所以该数列的前11项和为S11=(21-0)+(22-1)+(23-2)+(24-3)+…+(211-10)=-=212-57. 6.已知数列{an}的前n项和为Sn=3+2n,则数列{an}的通项公式为________. 解析:当n=1时,a1=S1=3+2=5;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-2n-1=2n-1. 因为当n=1时,不符合an=2n-1, 所以数列{an}的通项公式为an= 答案:an= 7.若数列{an}满足an=(n∈N*),则该数列落入区间内的项数为________. 解析:由<<,得<1+<,即<<,40(n∈N*),且b1,a2,b2成等差数列,a2,b2,a3+2成等比数列. (1)求数列{an},{bn}的通项公式. (2)设cn=3bn-2,求数列{cn}的前n项和Sn. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q. 因为b1,a2,b2成等差数列,所以2a2=b1+b2. 又因为a2,b2,a3+2成等比数列,所以b=a2·(a3+2). 将上面两式联立有 解得或(舍去). 所以an=3n-2,bn=2·3n-1. (2)由(1)知bn=2·3n-1,所以cn=3bn-2=2·3n-2, 所以Sn=c1+c2+…+cn=2(31+32+…+3n)-2n=3n+1-2n-3. 10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-4,Sm=0,Sm+2=14(m≥2,且m∈N *). (1)求m的值; (2)若数列{bn}满足=log2bn(n∈N*),求数列{(an+6)·bn}的前n项和. 解:(1)由已知,得am=Sm-Sm-1=4, 且am+1+am+2=Sm+2-Sm=14, 设等差数列{an}的公差为d, 则有2am+3d=14, ∴d=2. 由Sm=0,得ma1+×2=0, 即a1=1-m, ∴am=a1+(m-1)×2=m-1=4, ∴m=5. (2)由(1)知a1=-4,d=2,∴an=2n-6, ∴n-3=log2bn,即bn=2n-3, ∴(an+6)·bn=2n×2n-3=n×2n-2. 设数列{(an+6)·bn}的前n项和为Tn, 则Tn=1×2-1+2×20+…+(n-1)×2n-3+n×2n-2,① 2Tn=1×20+2×21+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1,② ①-②,得-Tn=2-1+20+…+2n-2-n×2n-1 =-n×2n-1 =2n-1--n×2n-1, ∴Tn=(n-1)×2n-1+(n∈N*) 高考微点13 数列的通项公式与求和 [微要点] 1.掌握数列通项公式的几种常用方法 (1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式. (2)利用Sn,an的关系式,即an= (3)若an+1-an=f(n),则用累加法. (4)若=f(n),则用累乘法. (5)若an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0),则用构造法.设an+1+λ=p(an+λ),求得λ=,进而用等比数列求通项公式. 2.注意一个易误点 在利用数列的前n项和求通项时,往往容易忽略先求出a1,而是直接把数列的通项公式写成an=Sn-Sn-1的形式,但它只适用于n≥2的情形. [微练习] 1.在数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N *),则是这个数列的(  ) A.第6项  B.第7项 C.第8项 D.第9项 2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,则通项公式an=(  ) A.2·3n-1-1 B.2·3 n-1 C.3n-2 D.2·3n-5 3.已知数列{an}满足a1=1,an-an-1=n,则an=________. [微要点] 1.掌握数列求和的常用方法 (1)公式法:适合求等差数列或等比数列的前n项和.对等比数列利用公式法求和时,一定注意公比q是否取1. (2)错位相减法:主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法:把数列和式中的各项分别裂项后,消去一部分从而计算和的方法,适用于求通项为的数列的前n项和. (4)分组求和法:一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分,分别求和,然后再合并. (5)并项求和法:当一个数列为摆动数列,形如(-1)nan的形式,通常分奇、偶,观察相邻两项是否构成新数列. 2.注意两个易误点 (1)裂项求和时忽视系数致误,将通项直接裂开而没有注意系数变化,或乘以系数而不是系数的倒数; (2)错位相减求和时项数出错致误.两式相减后需要进行等比数列求和,项数一定要看清,建议利用公式Sn=求和,避免项数出错. [微练习] 1.已知数列an=则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=(  ) A.4 800 B.4 900 C.5 000 D.5 100 2.设Sn为等差数列{an}的前n项和,a2=3,S5=25,若的前n项和为,则n的值为(  ) A.504 B.1 008 C.1 009 D.2 017 3.已知等差数列{an}满足:an+1>an(n∈N*),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,an+2log2bn=-1. (1)分别求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 1.在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,那么S100的值为(  ) A.2 500   B.2 600 C.2 700 D.2 800 2.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=,Sn=10,则n=(  ) A.90 B.119 C.120 D.121 3.在数列{an}中,a2=8,a5=2,且2an+1-an+2=an(n∈N *),则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是(  ) A.-10 B.10 C.50 D.70 4.设{an}是正项数列,其前n项和Sn满足4Sn=(an-1)·(an+3)(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=(  ) A.2n+1 B.2n-1 C.2n-1 D.2n+1 5.“五一”期间,北京十家重点公园将进行免费游园活动,北海公园免费开放一天,早晨6时30分有2人进入公园,第一个30分钟内有4人进去并出来1人,第二个30分钟内进去8人并出来2人,第三个30分钟内进去16人并出来3人,第四个30分钟内进去32人并出来4人……按照这种规律进行下去,到上午11时30分公园内的人数是(  ) A.211-47 B.212-57 C.213-68 D.214-80 6.已知数列{an}的前n项和为Sn=3+2n,则数列{an}的通项公式为________. 7.若数列{an}满足an=(n∈N*),则该数列落入区间内的项数为________. 8.数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列的前10项和为________. 9.在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=1,b1=2,bn>0(n∈N*),且b1,a2,b2成等差数列,a2,b2,a3+2成等比数列. (1)求数列{an},{bn}的通项公式. (2)设cn=3bn-2,求数列{cn}的前n项和Sn. 10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-4,Sm=0,Sm+2=14(m≥2,且m∈N *). (1)求m的值; (2)若数列{bn}满足=log2bn(n∈N*),求数列{(an+6)·bn}的前n项和.

    • 2020-05-11
    • 下载6次
    • 63.84KB
  • ID:3-7297643 高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点12 等差数列和等比数列 学案(word版含解析)

    高中数学/高考专区/三轮冲刺

    高考微点12 等差数列和等比数列 [微要点] 1.谨记两类数列的基本公式 等差数列 通项公式:an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d. 中项公式:2an=an-1+an+1(n∈N *,n≥2). 前n项和公式:Sn==na1+d 等比数列 通项公式:an=a1qn-1=amqn-m. 中项公式:a=an-1·an+1(n∈N *,n≥2). 前n项和公式:Sn= 2.注意两个易误点 (1)注意区分等差、等比数列定义中同一个常数与常数的区别. (2)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误. [微练习] 1.已知{an}为等差数列,其前n项和为Sn,若a1=1,a3=5,Sn=64,则n=(  ) A.6    B.7 C.8 D.9 解析:选C 因为d==2,Sn=na1+d=n+n(n-1)=64,解得n=8. 2.公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=(  ) A.-2 B.2 C.3 D.-3 解析:选A ∵S3+3S2=0, ∴+=0,∴a1(q2+4q+4)=0, ∵数列{an}为等比数列,∴a1≠0,解得q=-2.故选A. 3.已知等比数列{an}为递增数列,且a=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an=(  ) A.2n B.2n-1 C.3n D.3n-1 解析:选A 设{an}的公比为q,由a=a10>0,可知q>1,由2(an+an+2)=5an+1,得2=5,解得q=2. 所以由aq8=a1q9,得a1=2,所以an=2n. 4.在数列{an}中,若a1=2,且对任意正整数m,k,总有am+k=am+ak,则{an}的前n项和Sn=(  ) A.n(3n-1) B. C.n(n+1) D. 解析:选C 依题意得an+1=an+a1,即an+1-an=a1=2,所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列,an=2+2(n-1)=2n,Sn==n(n+1),选C. [微要点] 1.等差数列的性质 (1)an=am+(n-m)d,an+m=an+md=am+nd(m,n∈N *). (2)若p+q=m+n,则ap+aq=am+an. (3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列. (4)若项数为2n,则S偶-S奇=nd,=. (5)若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=. 2.等比数列的性质 (1)an=am·qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*). (2)若m+n=p+q,则am·an=ap·aq. (3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比数列. (4)若数列{an}的项数为2n,S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和,则=q;若项数为2n+1,则=q. [微练习] 1.已知-9,a1,a2,-1成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1成等比数列,则b2(a1+a2)等于(  ) A.30 B.-30 C.±30 D.15 解析:选A 依题意a1+a2=-9+(-1)=-10, ∵b=(-9)×(-1)=9, 又b2与-9,-1符号相同, 即b2=-3,∴b2(a1+a2)=30. 2.在等差数列{an}中,已知S4=1,S8=4,设S=a17+a18+a19+a20,则S的值为(  ) A.8 B.9 C.10 D.11 解析:选B 由S4=1,S8=4,得S8-S4=3,所以S12-S8=5,所以S16-S12=7,所以S=S20-S16=9.故选B. 3.已知等比数列{an}共有10项,其中奇数项之积为2,偶数项之积为64,则其公比q为(  ) A. B. C.2 D.2 解析:选C 由奇数项之积为2,偶数项之积为64,得a1·a3·a5·a7·a9=a=2,a2·a4·a6·a8·a10=a=64,则q5==32,则q=2,故选C. 4.已知{an}是等差数列,且a1+a2+…+a100=80,a101+a102+…+a200=120,则a201+a202+…+a300的值为(  ) A.140 B.150 C.160 D.180 解析:选C 设a201+a202+…+a300=t, 则 由等差数列的性质可知120-80=t-120,于是t=160, 故a201+a202+…+a300=160. 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足Sn>0的最大自然数n的值为(  ) A.6 B.7 C.12 D.13 解析:选C ∵a1>0,a6a7<0,∴a6>0,a7<0,等差数列的公差小于零,又a3+a10=a1+a12>0,a1+a13=2a7<0,∴S12>0,S13<0,∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12. 1.在等比数列{an}中,已知a1=1,a4=8,则a5=(  ) A.16   B.16或-16 C.32 D.32或-32 解析:选A 因为a4=a1q3,则q=2,所以a5=a4q=16. 2.若在数列{an}中,a1=3,an+1=an+3,则an=(  ) A.3 B.3n+3 C.3n D.3n+6 解析:选C 由an+1=an+3可知数列{an}为等差数列,且首项为3,公差为3,所以an=a1+(n-1)d=3n. 3.设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n∈N *),则S6=(  ) A.44 B.45 C.(46-1) D.(45-1) 解析:选B 因为a1=1,an+1=3Sn(n∈N*),可得an=3Sn-1(n≥2),两式相减得an+1-an=3an,即an+1=4an(n≥2);而a1=1,a2=3S1=3,可得=3,所以{an}从第二项起是公比为4的等比数列.所以an=3·4n-2(n≥2),a1=1,所以S6=1+3+12+…+3·44=1+=1+45-1=45.选B. 4.在14与中间插入n个数,组成各项之和为的等比数列,则此数列的项数为(  ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:选A 设该数列的公比为q(q≠1),则=14qn+1,==,得q=-,n=3,故此数列共有5项. 5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤,在细的一端截下1尺,重2斤,问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为(  ) A.6斤 B.9斤 C.9.5斤 D.12斤 解析:选A 依题意,金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列,设首项a1=4,则a5=2,由等差数列的性质得a2+a4=a1+a5=6,所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤.故选A. 6.已知等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1+b,则=(  ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:选A ∵等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1+b, ∴a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a, a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a, ∵等比数列{an}中,a=a1a3, ∴(2a)2=(a+b)×6a,解得=-3. 7.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,公差为d,若-=100,则d的值为(  ) A. B. C.10 D.20 解析:选B 因为==a1+d, 所以-=a1+d-=1 000d=100,所以d=. 8.已知数列{an}是单调递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前2 019项之和S2 019=(  ) A.22 018 B.22 017-1 C.22 018-1 D.22 019-1 解析:选D 由题意,{an}是单调递增的等比数列,则公比q>1,首项a1>0. 由得 解得(负值舍去),故q=2. 所以数列{an}的前n项和Sn=2n-1, 则S2 019=22 019-1.故选D. 9.设数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若S1≤13,S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为(  ) A.3 B.4 C.-7 D.-5 解析:选B ∵S4≥10,S5≤15,∴a1+a2+a3+a4≥10,a1+a2+a3+a4+a5≤15,∴a5≤5,∴a1+4d≤5 ①. 又∵S5=5a3≤15,∴a3≤3,∴a1+2d≤3 ②. ①+②,得2(a1+3d)≤8,∴a1+3d=a4≤4.即a4的最大值为4.故选B. 10.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an,Sn=a-a+a-a+…+a-a等于(  ) A.(2n-1) B.(1-24n) C.(4n-1) D.(1-2n) 解析:选B 因为a1=1,an+1=2an,所以=2,所以数列{an}是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以an=2 n-1.又a=(2n-1)2=4 n-1,不妨设bn=(-1) n-1·a=(-1) n-1·4 n-1=(-4) n-1,则数列{bn}是以1为首项,以-4为公比的等比数列,那么Sn=b1+b2+…+b2n==(1-24n).故选B. 11.已知数列{an},{bn}满足bn=an+an+1,则“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A 若数列{an}为等差数列,设公差为d,则当n≥2时,bn-bn-1=an+an+1-an-1-an=an+1-an+an-an-1=2d,为常数,则数列{bn}为等差数列,即充分性成立.若数列{bn}为等差数列,设公差为b,则n≥2时,bn-bn-1=an+an+1-an-1-an=an+1-an-1=b为常数,则无法推出an-an-1为常数,即无法判断数列{an}为等差数列,即必要性不成立.综上,“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的充分不必要条件. 12.已知数列{an}为等差数列,若a+a≤25恒成立,则a1+3a7的取值范围是(  ) A.[-10,10 ] B.[-5,5 ] C.[-10,10] D.[-5,5] 解析:选A a+a=(a1+a10)2-2a1a10≥(a1+a10)2-2·2=(a1+a10)2,当且仅当a1=a10时取等号.又∵a+a≤25,∴(a1+a10)2≤25,∴(a1+a10)2≤50,解得a1+a10∈[-5,5].∴a1+3a7=a1+a7+2a7=2(a4+a7)=2(a1+a10)∈[-10,10 ].故选A. 13.已知Sn为等差数列{an}的前n项和.若S2=S6,a4=1,则a5=________. 解析:设数列{an}的公差为d,由题意得所以所以a5=a1+4d=-1. 答案:-1 14.已知(1,3),(3,-1)是等差数列{an}图象上的两点,若5是p,q的等差中项,则ap+aq的值为________. 解析:设等差数列{an}的公差为d,由于(1,3),(3,-1)是等差数列{an}图象上的两点,所以a1=3,a3=-1.由a3=a1+2d=3+2d=-1,得d=-2.所以等差数列的通项公式为an=-2n+5,因为5是p,q的等差中项,即有p+q=2×5,所以ap+aq=2a5=2(-2×5+5)=-10. 答案:-10 15.在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,则+++=________. 解析:因为+=,+=, 由等比数列的性质知a7a10=a8a9, 所以+++==×=-. 答案:- 16.已知等差数列{an}的前5项和为105,且a10=2a5.对任意的m∈N *,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm,则数列{bm}的前m项和Sm=________. 解析:设数列{an}的公差为d,前n项和为Tn.由T5=105,a10=2a5, 得 解得a1=7,d=7, 因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N *). 对任意的m∈N *,若an=7n≤72m,则n≤72m-1. 因此bm=72m-1,所以数列{bm}是首项为7, 公比为49的等比数列, 故Sm===. 答案: 高考微点12 等差数列和等比数列 [微要点] 1.谨记两类数列的基本公式 等差数列 通项公式:an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d. 中项公式:2an=an-1+an+1(n∈N *,n≥2). 前n项和公式:Sn==na1+d 等比数列 通项公式:an=a1qn-1=amqn-m. 中项公式:a=an-1·an+1(n∈N *,n≥2). 前n项和公式:Sn= 2.注意两个易误点 (1)注意区分等差、等比数列定义中同一个常数与常数的区别. (2)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误. [微练习] 1.已知{an}为等差数列,其前n项和为Sn,若a1=1,a3=5,Sn=64,则n=(  ) A.6    B.7 C.8 D.9 2.公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=(  ) A.-2 B.2 C.3 D.-3 3.已知等比数列{an}为递增数列,且a=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an=(  ) A.2n B.2n-1 C.3n D.3n-1 4.在数列{an}中,若a1=2,且对任意正整数m,k,总有am+k=am+ak,则{an}的前n项和Sn=(  ) A.n(3n-1) B. C.n(n+1) D. [微要点] 1.等差数列的性质 (1)an=am+(n-m)d,an+m=an+md=am+nd(m,n∈N *). (2)若p+q=m+n,则ap+aq=am+an. (3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列. (4)若项数为2n,则S偶-S奇=nd,=. (5)若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=. 2.等比数列的性质 (1)an=am·qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*). (2)若m+n=p+q,则am·an=ap·aq. (3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比数列. (4)若数列{an}的项数为2n,S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和,则=q;若项数为2n+1,则=q. [微练习] 1.已知-9,a1,a2,-1成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1成等比数列,则b2(a1+a2)等于(  ) A.30 B.-30 C.±30 D.15 2.在等差数列{an}中,已知S4=1,S8=4,设S=a17+a18+a19+a20,则S的值为(  ) A.8 B.9 C.10 D.11 3.已知等比数列{an}共有10项,其中奇数项之积为2,偶数项之积为64,则其公比q为(  ) A. B. C.2 D.2 4.已知{an}是等差数列,且a1+a2+…+a100=80,a101+a102+…+a200=120,则a201+a202+…+a300的值为(  ) A.140 B.150 C.160 D.180 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足Sn>0的最大自然数n的值为(  ) A.6 B.7 C.12 D.13 1.在等比数列{an}中,已知a1=1,a4=8,则a5=(  ) A.16   B.16或-16 C.32 D.32或-32 2.若在数列{an}中,a1=3,an+1=an+3,则an=(  ) A.3 B.3n+3 C.3n D.3n+6 3.设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n∈N *),则S6=(  ) A.44 B.45 C.(46-1) D.(45-1) 4.在14与中间插入n个数,组成各项之和为的等比数列,则此数列的项数为(  ) A.5 B.6 C.7 D.8 5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤,在细的一端截下1尺,重2斤,问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为(  ) A.6斤 B.9斤 C.9.5斤 D.12斤 6.已知等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1+b,则=(  ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 7.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,公差为d,若-=100,则d的值为(  ) A. B. C.10 D.20 8.已知数列{an}是单调递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前2 019项之和S2 019=(  ) A.22 018 B.22 017-1 C.22 018-1 D.22 019-1 9.设数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若S1≤13,S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为(  ) A.3 B.4 C.-7 D.-5 10.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an,Sn=a-a+a-a+…+a-a等于(  ) A.(2n-1) B.(1-24n) C.(4n-1) D.(1-2n) 11.已知数列{an},{bn}满足bn=an+an+1,则“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.已知数列{an}为等差数列,若a+a≤25恒成立,则a1+3a7的取值范围是(  ) A.[-10,10 ] B.[-5,5 ] C.[-10,10] D.[-5,5] 13.已知Sn为等差数列{an}的前n项和.若S2=S6,a4=1,则a5=________. 14.已知(1,3),(3,-1)是等差数列{an}图象上的两点,若5是p,q的等差中项,则ap+aq的值为________. 15.在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,则+++=________. 16.已知等差数列{an}的前5项和为105,且a10=2a5.对任意的m∈N *,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm,则数列{bm}的前m项和Sm=________.

    • 2020-05-11
    • 下载6次
    • 74.35KB
老时时开奖结果记录 彩经网河北11选5官网 河南11选五5开奖结果 下载广西快三快十 幸运农场8个全中多少钱 山西11选5平台 北京赛车彩票网址 河南11选五基本走势图 河北快三近100期 基金配资条件 福建体彩36选7走势图浙江风采网 极速时时彩走势图 腾讯股票分析报告 河南快3 广西快乐十分最新开奖 北京快乐8怎么赢 快乐8开奖记录